循環加集

基本介紹

設D=

是Z_v的一個k元子集，且g是整數，合0<g<v。

定義1如果D滿足條件：對Z_v中任一元

，方程

的解(

)的個數都是λ，則稱D是一個(v，k，λ，g)-循環加集。

於是，個(v，k，λ，-1)-循環加集就是個(v，k，λ)-循環差集。

與循環差集的情況類似，對任意正整數v和

的循環加集很容易全部列出，故稱這些加集是平凡的，滿足

的循環加集是非平凡的。

定理1 若θ(x)為D的霍爾多項式，則D是(v，k，λ，g)循環加集的充分必要條件為

θ(x)θ(x^g)≡β+λT(x) (mod x^v-1)，（2）

式中T(x)=1+x+…+x^v-1，當1<k<v-1時，(v，k，λ，g)循環加集的參數滿足β=k²-λv，0≤β+λ≤k，0<λ<k及|β|<k，對於循環加集，也可以定義乘子，並且有類似於循環差集的乘子定理。

定理2對非平凡的(v，k，λ，g)-循環加集，有

定理3 若

，則合gcd(g，v)>1的(v，k，λ，g)-循環加集都是平凡的。

定理4 設D是一個(v，k，λ，g)-循環加集，且2|v，2不能整除g，則β是一個完全平方數。

系設D是一個非平凡的(v，k，λ，g)-循環加集，且2|v，則β是一個完全平方數。

定理5 設D是一個非平凡的(v，k，λ，g)-循環加集，且β≠0，又設h是一個整數，合gcd(h，v)=1，那么，若且唯若gh是一個固定D的乘數時，D也是一個(v，k，λ，h)-循環加集。

定理6 若D是一個非平凡的(v，k，λ，g)-循環加集，且β≠0，則g²是固定D的一個乘數。

但是，這個定理對循環加集的非常重要的特款——循環差集，未能提供任何有用的結果，因為g=-1時，g²=1是一個循環差集的平凡的乘數。

有關循環加集的性質，類似於循環差集的乘數定理，以及某些類型的循環加集的構造方法等，已有不少有趣的結果。

值得一提的是，C.W.H.Lam證明了：不存在非平凡的(v，k，λ，1)-循環加集。