基本介紹
對象與任務,概論,長度比,頻率比、周期比,音程值,自然依據,現代研究,五度相生律,律法起源,純律,五度相生律,中立音程的律制,平均律,研究意義,
對象與任務
概論
律學（study of temperament），又稱“音律學”，屬於音響學、音樂、聲學、數學與音樂學的交緣學科。音樂中所有音高方面的研究都涉及律學。例如：旋律音程的結構與音準；調式與和聲理論中的和諧原理；多聲部縱向結合時的各種音程關係；轉調理論；樂器製造及調律中的音準與音位的確定；重唱重奏、合唱合奏中的音準調節；……等等。由於音律是與音樂本身的存在緊密聯繫的，所以儘管律學的研究必須通過物理學與數學的方法，但同時也還必然涉及世界各民族音樂中實際運用的音階、調式，律學在實際中的套用與發展等方面，它最終是為音樂表演的完善、音樂創作的發展、音樂文化的全面提高服務的。
長度比
不同的律制由不同的生律法決定的，而生律法則與所選擇的音程及其計算方法相關。古代人通過發音體(管、弦）的長度比例關係來理解並計算音程。這比例可用整數比的形式來表示，例如，相距純五度的兩音發音體的長度，較低者的長度：較高者的長度=3∶2；也可用假分數寫出其比值，例如把3∶2寫成 3/2。相距純四度的，其長度比是4:3=4/3。相距純正協和的大三度的，其長度比是5∶4=5/4。這些數，在古代（中國、印度、希臘等古國）都作為長度比用以計算音程。
頻率比、周期比
到近代，人們開始從單位時間內的振動數（頻率）的角度出發，以更精密的方法來研究音高，因而，音程關係也通過頻率比來理解與計算。例如，相距純五度的兩個音，較高者的頻率：較低者的頻率=3∶2=3/2。由於頻率與長度成反比，建立比例式時只要高低音在前後項的位置顛倒過來，所得的比例數就完全相同，所以古代所用的比例數在近代仍然是有效的，只是對於數字所代表的兩音的高低作了相反的解釋罷了。經過重新解釋以後，同樣這些數字就成為頻率比了。進入現代，又轉向微觀的思考，從頻率轉到周期。例如振動頻率為每秒鐘440次，則振動周期為每次1/440秒，這也就是時間中的波長。從周期的長度來看比例關係，就重新回到低者較長而高者較短的對應關係，與古代所用的長度比完全吻合了。這樣，上述那些比數就又可以作為周期比來用了。
音程值
無論用長度比、頻率比還是周期比，都有其不便之處：在比較兩個近似音程的大小時，必須通過乘法或除法，不經過一番計算就不能了解何者較大，大多少，而兩音程相加減，則又必須作乘除運算。一個音程擴大到多少倍、劃分成多少等分，則要作乘方、開方運算。隨著數學的發展，19世紀開始將對數概念引進音程的計量，建立了“音程值”概念。計算音程值的方法，是把某音程的頻率比值換算成對數，並依一定意圖制定某種單位名稱。有了音程值以後，音程的大小就可一目了然，音程加減可用音程值加減來算，音程擴大到多少倍或劃分成多少等分也可用簡單的乘除法來算。各國現多以“音分”為音程值的單位，此為英國數學家兼比較音樂學家、語言學家A.J.埃利斯（1814～1890）所創用。十二平均律（等平均律中最常用的律制，等平均律還有印度的八平均律、六平均律等）中八度的音程值為1200音分，每個半音關係之間為100音分。
任何律制中的任何音程的音分數都可根據頻率比通過常用對數算得：先求出比例常數，再把各音程頻率比的常用對數乘以比例常數，即得。比例常數是：八度的音分數÷八度頻率比值2的常用對數=1200÷0.30103=3986.313。如欲求純五度的音分數，就把純五度頻率比值（3∶2=1.5）的對數（0.17609）乘以比例常數：0.17609×3986.313=701.950，常將小數四捨五入，作702音分。除音分外，音程值的其他單位制尚有“薩瓦爾”，為法國人F.薩瓦爾（1791～1841）所創用。只要把某音程頻率比值的常用對數乘以1000，即得薩瓦爾數，因此1薩瓦爾≈4音分。“密優”（μ）即“千分八度”，德國音樂學家H.里曼、音樂教育家兼語言學家C.艾愛茲（1848～1924）都使用這種音程值。把八度計量為1000個“密優”，因此1密優=1.2音分。“全音”即“六數八度”，為日本音樂學家田邊尚雄所創用。把八度計量為6個全音，1全音=200音分。
自然依據
古代任何民族的生律法所用的長度比例，都是一些簡單整數比，這是有它的自然依據的。在每一個樂音內部都存在著一個基音與一系列泛音的音程結構，這一原理雖然遲至17世紀才由法國音樂理論家M.梅爾塞訥（1588～1648）所發現，但這一事實的存在自古已然，對於原始人類的和諧感已經發生作用。只有當兩音的音程關係符合泛音列中占優勢的音程關係時，才使人感到和諧，古代選作生律法依據的就是這樣一些協和音程。泛音列又稱諧音列、分音列、倍音列，其音程結構與頻率比例、周期比例（振動體長度比例亦然）。
講述泛音列構造時，為使音的號數與各自的比例當數恰能吻合，就不說泛音號數，而說諧音號數。以基音為1號諧音，第一泛音為2號諧音，第二泛音為3號諧音，所有自然產生的生律法所依據的音程都可以在諧音列中找到：1與2號諧音之間的八度距離，是任何生律法中都要用到的，純五度是2、3號諧音的距離，純四度是3、4號諧音的距離，純正協和的大三度是4、5號諧音的距離，阿拉伯音樂慣用的中三度則符合9、11號諧音的距離，等等。只是到了律制發展得較複雜以後，人們為了尋找循環旋宮與自由轉調的可能性，才僅用八度這一種自然音程，而其他所有音程都偏離自然規範，運用開方的方法得到，以建立平均律。故人們稱平均律制為“人工律”，而以往各種依據自然音程的律制則統稱“自然律”。
現代研究
現代生物學研究表明，人耳的敏感程度與聲音頻率大致呈指數關係。例如：對人類的聽覺來說，220Hz到440Hz之間的差距與440Hz到880Hz之間大致相同。所以我們可以給它們相同的音名。比如C，然後劃分為不同的音域。雖然古人不懂物理和生物，但是他們還是不約而同地依據經驗發現了這個現象。每當聲音的頻率翻倍，我們就記它為一個單位——西方叫“八度”，東方叫均。
現代研究又表明，如果我們同時發出兩個音的話，則波形越有規律，就越好聽。從數學上來說，就是兩個函式疊加周期小，周期就是比值的最低公倍數
。同樣地，古人成功地發現了這個道理。古人並不懂什麼是頻率，但是他們也可以聽出音高。他們發現了2:3很好聽，今天被叫做純五度。
可是，只有兩個音太“單調”了。我們還能不能細分出更多的音呢？
於是，就有了五度相生律：每次升純五度，產生一個音。因此得名。
五度相生律
五度相生律在八度關係倍半相生的前提下，以純五度、純四度兩種音程為生律法的依據而建立的律制，稱為五度相生律。中國古代的三分損益律，古希臘按照畢達哥拉定律法所建立的律制，中世紀阿拉伯人繼承古希臘文明而在“量音學”中採用四度相生法以建立的律制，都是如此。假如從C出發，向上五下四度方向生律5次，向上四下五度方向（這不符合三分損益法，是七弦琴上所用的“反生法”，被隋代鄭譯貶斥為“乖相生之道”）生律1次，就得到如下七聲音階（下徵調新音階）。
在五度相生十二律音階上，半音有兩種：一種是小半音，長度比是256∶243，音程值為90音分，現代記譜作小二度，古希臘稱為“林瑪”；另一種是大半音，長度比是2187∶2048，音程值為114音分，現代記譜作增一度，古希臘稱為“阿波托美”。相應地，全音也有兩種：一種是大全音（在五聲音階里就有的，普通的），長度比是9∶8，音程值為204音分；另一種是小全音（兩個小半音相加所得，無射正律與黃鐘半律的距離），長度比是65536∶59049（即□∶□），音程值為180音分。
三分損益輾轉相生第12次所得的第13律，長度略短（音略高）於首律黃鐘，兩者的長度比是531441∶524288（即□∶□），音程值為24音分。這就是中國古代樂律學中有名的“仲呂上生不及黃鐘”的問題。古希臘的律學研究者也發現了這個音差，稱之為“畢氏音差”。由於這個音差被發現的時代很古，今人稱之為“古代音差”，又稱“最大音差”。京房與錢樂之從這偏差走向60律和360律，何承天與朱載□則為彌合這縫隙而走向平均律。
律法起源
純律
除了用純八、五、四度生律，再增添純正協和的大三度這一新的音程作為生律法的依據，而形成的律制，稱為純律。純律不同於五度相生律的主要特點是，由於純律（純正協和的）大三度略小於五度相生律的大三度，故在其最普通的自然七聲音階中即已存在小全音與大半音。這小全音是純律大三度與大全音之差，5/4÷9/8=10/9，其長度比是10∶9，音程值為 182音分。這大半音是純四度與純律大三度之差，4/3÷5/4=16/15，其長度比是16∶15，音程值為112音分。
追溯到古希臘，阿希塔斯（活動於公元前 400～前365）已發現長度比為5:4的純律大三度。埃拉托斯賽奈斯（約公元前284～前202）已發現長度比為6∶5的純律小三度。迪季姆（公元前63～公元10）已發現小全音及其與大全音之差，故此音差亦稱“迪氏音差”。這是在純律音階上經常遇到的音差，也是純律與五度相生律兩種律制的相似音程之間的差，長度比是81∶80，音程值為22音分，今人稱之為普通音差或協同音音差。雖然在古希臘已有上述音樂家發現純律音程，但作為律制當時仍以五度相生律為主。
五度相生律
歐洲音樂自從進入多聲時期以來，五度相生律三、六度不協和的問題日益明顯，要求採用純律三、六度成為自然趨勢，於是有人將古希臘的純律理論重新提起。英國修道士W.奧丁頓於1275～1300年間提出了含有純律三度的音列。同一世紀的德國音樂理論家科隆的弗蘭科把純律大小三度作為協和音程。14世紀，法國作曲家兼理論家P de維特里與音樂理論家讓·德米爾（1325～？）分別提出，把純律小六度（8∶5）與純律大六度（5∶3）作為協和音程。到16世紀，義大利理論家G.扎利諾根據純律理論在建立大小三和弦概念的基礎上提出了純律音階。
五度相生律與純律各有一個令人注目的音差，前者為“古代音差”，後者為“普通音差”,大小相近。1726年，法國音樂理論家J.-P.拉莫發現了兩者之間的極小的差距，稱之為“小微音差”。此音差的長度比為32805∶32768（即□×5∶□），音程值為2音分。凡相距八個純五度又一個純律大三度的兩音之間便存在這樣一個音差，利用它可以進行律的替換。回顧三分損益律的夷則正律到黃鐘半律之間的音程（384音分），與純律大三度（386音分）相比，其差異就是如此，故在古代音樂家的聽覺中，這兩律是協和的，這種轉化也給中國古代鐘律帶來純律因素。
由於純律音階一經轉調就到處出現大全音與小全音的差異，使律制變得十分複雜，在鍵盤樂器上形成錯綜的式樣。為消除這一矛盾，15、16世紀歐洲有人提出“中庸全音調律法”，把大、小全音加以折衷平均。西班牙作曲家兼理論家B.拉莫斯·德·帕雷哈（1440～1521）在其1482年的著作《音樂實踐》中已記述了中庸全音律在當時的使用情況，到16世紀初，德國管風琴演奏家A.施利克（約1460～1521？）所著《管風琴製造者及管風琴家之鏡》（成於1511年）一書從理論上明確提出。這一調律法的優點在於和弦發音和諧，因而在歐洲中世紀至近代的鍵盤樂器上盛行達數百年之久。其缺點是能用的調域有限，只能適應7個大調和4個小調，當樂曲轉調超出這範圍時，音階中就出現顯著不準的音程，俗稱“狼音”。這種局面只有十二平均律才能解救。
中立音程的律制
中立音程的出現可追溯到古希臘。希臘人在歌唱的伴奏中有時將自然四音列加以變化，構成“變音四音列”；以後阿希塔斯提出將四音列中的半音縮小為近似1/3音，後來再行縮小，在相距半音的兩音中插入另一音，它與左右兩音都距離約1/4音，處於中立位置，形成“四分音四音列”。
平均律
十二平均律與二十四平均律的建立，用現代數學術語表述就很簡單：為了把八度音程均勻地分成12個相等的間距，就應將八度的頻率比值（2）開12次方，方根就是平均律半音的頻率比值，再開平方就得到平均律1/4音的頻率比值；但在歷史上，這是以建立等比數列概念與掌握開方技術為前提的，曾經經歷了漫長的探索。
不同的樂系，從各自的自然律傳統出發，分別經過艱辛的探索歷程，殊途同趨於相仿的平均律制。在中國，是從三分損益律的傳統出發，為彌合古代音差的縫隙，由朱載□在16世紀後半葉（1584年以前）提出了十二平均律的精密數據（新法密率）。在歐洲，是在純律大量實踐的基礎上，為了排解普通音差所造成的繁雜和中庸全音律所遇到的困難，由荷蘭數學家兼工程師S.斯台文（1548～1620）與法國音樂理論家梅爾塞訥先後在16世紀末、17世紀初提出了十二平均律的數據。在阿拉伯樂系，則從長期運用中立音程的傳統出發，為了解決中立音程的實際演奏與固有理論律制的牴觸，由穆沙加在1888年提出二十四平均律律制，將十二平均律包含在內作了進一步的發展。
人們接受平均律，並非著意於用它取代、排斥、掃除自然律，而是由於它近似自然律，它的各種音程可以當作自然音程來感受。在實踐中，平均律是作為各種不同性質的自然律的簡便易行的仿製品、代用品而通用於世，並在實際演唱演奏中隨時予以必要的調節；在理論上，平均律音程提供了一種方便的尺度（或以平均律半音為100，或以平均律全音為1），以簡捷明了地量度與比較各種各樣的自然律音程，並成為音律測定與計算中的數學框架。
