強擬凸函式

若對任意的x,y∈ C,x≠ y，及任意λ∈ (0,1)，有f(λx+(1-λ)y)<max{f(x),f(y)}，則稱f(x)為C上的強擬凸函式。

基本介紹

• 中文名：強擬凸函式
• 外文名：strongly quasi-convex function
• 領域：數學
• 公式：f(λx+(1-λ)y)
• 相關名詞：擬凸函式

簡介

若對任意的x,y∈ C，x≠ y，及任意λ∈ (0,1)，有

則稱f(x)為C上的強擬凸函式。

我們知道，在數學規劃的理論及算法中，函式的凸性只是一個充分條件，而不是必要條件。如何推廣函式的凸性概念，使得凸規則的大多數結果能推廣到非凸規劃，已構成了數學規劃研究領域的當前趨勢之一。擬凸函式是一類非常重要的廣義凸函式，已有大量文獻對此作了研究。討論擬凸函式、嚴格擬凸函式及強擬凸函式之間的關係，得到新結果，使得某些結論成為直接推廣。

基本概念

擬凸函式

直觀的看，函式f（x）是擬凸的表示曲線ACB之間的點都低於B點。顯然，如果函式f（x）是凸的，則圖形如一個正放的鍋，弦在曲線上面，而弦上的點本身滿足上述性質，因而一定是擬凸的。代數的證明只要利用兩者的定義即得。但反向則不一定成立，如同是單調的函式的凹函式、線性函式、凸函式的圖形中，同樣滿足擬凸函式的定義，即擬凸函式可以是凹函式，也可以是凸函式。

與擬凹函式相對，擬凸函式也有一個等價定義：如果函式f（x）是擬凸的，若且唯若集合S1={x|f（x）≤c}是凸集，我們稱集合S1為函式f（x）的下等值集（Lower Contour Set）。

若對任意的x,y∈ C,x≠ y，及任意λ∈ (0,1)，有

則稱f(x)為C上的擬凸函式。

嚴格擬凸函式

若對任意的x,y∈ C,x≠ y，f(x)≠f(y)，及任意λ∈ (0,1)，有

則稱f(x)為C上的嚴格擬凸函式。

引理

設f(x)為C上的下半連續函式，則f(x)為C上的強擬凸函式的充要條件是：

對任意的x,y∈ C，x= y，存在λ∈ (0,1)(λ依賴於x,y)，使得

定理

設f(x)為C上的下半連續函式，則f(x)為C上的強擬凸函式的充要條件是：

對任意的x,y∈ C，x≠ y，存在λ∈ (0,1)(λ依賴於x,y)，使得

證明：必要性顯然成立。下面證明充分性，用反證法。

若存在x,x∈ C，x≠ x，及T₀∈(0,1)，使得

由假設條件及引理知f(x)為C上的擬凸函式，故有

故

不失一般性，不妨設f(x)≥ f(x)

若f(x)> f(x)，令，則

由假設知，存在λ₀∈ (0,1)，使得

則

顯然，矛盾!證畢。

嚴格擬凸函式成為強擬凸函式的條件

若f(x)為C上的嚴格擬凸函式，若對任意的x,y∈ C,x≠ y，x≠y，f(x)=f(y)，存在λ∈ (0,1)，有

則f(x)為C上的強擬凸函式。