基本介紹
- 中文名：弱緊生成空間
- 外文名：space generated by a weaklycompact subset
- 領域：集合論
- 性質：自反空間和可分空間的推廣
- 對象：巴拿赫空間
- 結論：弱緊生成空間的閉子空間不必是
概念,自反空間,拓撲空間,可分空間,巴拿赫空間,
概念
弱緊生成空間(space generated by a weaklycompact subset)是自反空間和可分空間的推廣。設X是巴拿赫空間，若存在X的一個弱緊集K，使
，則X稱為弱緊生成空間。有以下結論：
1.自反空間和可分巴拿赫空間都是弱緊生成空間。
2.羅森塔爾(Rosenthal，H.P.)於1974年指出，弱緊生成空間的閉子空間不必是弱緊生成空間。
自反空間
設X為線性賦范空間，X*為X的共軛空間，將X*的共軛空間(X*)*記為X**，稱X**為X的第二次共軛空間。
對於一切x∈X，令：
τ：x→x**
稱為自然映射。
設X為線性賦范空間，則運算元τ：x→x**是X到X**的保范線性運算元，即：(1)(αx+βy)**=αx**+βy**。(2)‖x**‖=‖x‖。
巴拿赫空間X與它的第二次共軛空間X**的一個閉子空間等距同構。
運算元τ：x→x**把X(同構)嵌入X**。為簡單起見，往往不區別x與x**，把X與τ (X)視為同一，從而X⊂X**，並稱τ為(自然)嵌入運算元。
設X為線性賦范空間，如果X=X**，則稱X為自反空間。
設X為自反空間，則X*也是自反空間。
彼茨(B.J.Pettis)定理：設X為巴拿赫空間，則X為自反空間若且唯若X的任何閉子空間均為自反空間。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
可分空間
可分空間是一類具有可數性質的拓撲空間。若拓撲空間X有一個可數的稠密子集，則稱X為可分空間.這是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1906年定義的.第二可數空間必是可分空間.可分性不具有遺傳性，但具有開遺傳性與可數可積性.可分空間的連續像是可分空間.歐幾里得空間、希爾伯特空間都是可分空間.
巴拿赫空間
20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按範數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裡斯在1904—1918年間所引入的函式空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間裡，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性運算元等基本概念已經得到初步研究。
1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦范線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函式空間，得到深刻的結果;同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出共鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦范空間上泛函延拓定理，引入了賦范線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性運算元理論》。至此，完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面套用的理論。
