弱正則環

弱正則環(weakly regular ring)是介於正則環類與遺傳冪等環類之間的一類環。環R稱為弱正則的,若對R中每一個元a,都有b∈(a),使得a=ab,其中(a)是由a生成的主理想;它等價於R的每個右理想I是冪等的。

基本介紹

  • 中文名:弱正則環
  • 外文名:weakly regular ring
  • 領域:數學
  • 學科:環論、測度論
  • 性質:介於正則環類與遺傳冪等環類之間
  • 相對概念:強正則環
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概念

弱正則環(weakly regular ring)是介於正則環類與遺傳冪等環類之間的一類環。環R稱為弱正則的,若對R中每一個元a,都有b∈(a),使得a=ab,其中(a)是由a生成的主理想;它等價於R的每個右理想I是冪等的,即I=I。若對環R中每一個元a,都有x∈R使得a=ax,則稱R為強正則環..每個強正則環都是馮·諾伊曼正則環。

對並與差運算封閉的集類,測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉,即對任何A,B∈F,都有A∪B∈F,A\B∈F,則稱F為Ω上的環。例如,若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集:
的全體構成的集類,則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類,並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上,就需要做一系列奠基工作,其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

馮·諾伊曼正則環

馮·諾伊曼正則環是一類重要正則環。若對環R的任意元x都有R中元a使得xax=x,則稱R為馮·諾伊曼正則環。環R是馮·諾伊曼正則的若且唯若R的每個有限生成右(左)理想可由一個冪等元生成;又若且唯若每個右(左)R模是平坦模。正則環起源於馮·諾伊曼連續幾何的坐標環,是由馮·諾伊曼(von Neumann,H.)於1936年引入的。有極小單側理想而不滿足極小條件的單環是正則環而非雙正則環。正則環的每個左(右)主理想都是投射的,因此半單環是正則的,正則環是左和右半遺傳的。

遺傳冪等環

遺傳冪等環是對一般根的研究有重要價值的環類。若環R的每個理想都是冪等的,則稱R為遺傳冪等環。一個環R是遺傳冪等的若且唯若對R的任意理想B,C,恆有B∩C=BC。例如,一個環R的反單根的補根是遺傳冪等的。

環論

抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算,使得R中任意元a,b,c適合條件:
1.R對加法為交換群,稱為R的加法群,記為(R,+);
2.R對乘法適合結合律,即(R,·)是半群,稱為R的乘法半群;
3.乘法對加法的左、右分配律成立,即a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律),(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);
則稱R為結合環,簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類,以及戴德金(Dedekind,J.W.R.)、哈密頓(Hamilton,W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn,J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式,也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代,諾特(Noether,E.)建立了環的理想理論,阿廷(Artin,E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時,對非極小條件的環,馮·諾伊曼(von Nenmann,H.)建立了正則環理論,相繼蓋爾范德(Гельфанд,И.М.)創立了賦值環,克魯爾(Krull,W.)建立了局部環理論,以及哥爾迪(Goldie,A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代,根論迅速發展,尤其是雅各布森(Jacobson,N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後,建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理,完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期,阿密蘇(Amitsur,S.A.)、庫洛什(Kurosh,A.)創立了根的一般理論,環論已趨完善。
另一方面,由群表示研究的影響,產生模、群環與分次環的理論.20世紀20年代初,諾特引入了模的概念,並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係,用模的語言去刻畫環,特別是20世紀50年代以後,同調代數的迅速發展,使環的理論進入更高層次雖然,早在1854年,凱萊(Cayley,A.)就引入了群代數,然而,它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代,受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後,由於分次代數的推動,群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇,20世紀70年代以來,由於非交換代數幾何及群表示論的推動,環論已進入一個新的階段。
若環R的乘法適合交換律,則稱R為交換環。乘法半群的左(右)單位元,稱為環R的左(右)單位元。乘法半群的單位元稱為環R的單位元。(R,+)的零元稱為環R的零元。在一個元構成的環中,零元是單位元,但兩個以上的元構成的環中,零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S,若對R的加法、乘法也構成環,則稱S是R的子環。S是R的子環若且唯若對任意a,b∈S恆有a-b∈S,ab∈S。
比結合環條件較弱的是非結合環,非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來,但其研究的方法和思路基本上沿著結合環的格式,並早已趨完整。比結合環更弱的環類是擬環與半環,雖然早在20世紀40年代,就分別由扎森豪斯(Zassenhaus,H.)和范迪維爾(Vandiver,H.S.)提出,但它們的發展是20世紀60年代以來,受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的,現已成為環論的獨立分支。

理想

集合論中的基本概念之一。設S為任意集合,若I⊆P(S)且滿足:
1.∅∈I;
2.若X,Y∈I,則X∪Y∈I;
3.若X,Y⊆S,X∈I,Y⊆X,則Y∈I;
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用,且有許多變體或引申。例如,布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數,若B的一個子集I滿足:
1.0∈I,1∉I(其中0,1分別為布爾代數B中的零元與么元);
2.對任何u∈I,v∈I,有u+v∈I;
3.對任何u,v∈B,若u∈I且v≤u,又v∈I;
則稱I為B上的理想。理想與濾子有非常密切的聯繫。

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