序鏈多面體的組合性質研究

《序鏈多面體的組合性質研究》是依託西南大學，由李雪珊擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：序鏈多面體的組合性質研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：李雪珊
• 依託單位：西南大學

項目摘要

20世紀中葉以來，凸多面體上的組合學這一交叉性研究方向引起很多著名數學家的廣泛關注。它不僅將組合數學與幾何學這兩個前沿領域有效結合起來，而且為代數幾何、代數拓撲、交換代數、數論等重要數學領域提供了巨大的發展動力。. 本項目主要研究與偏序集相關的一類重要多面體——序鏈多面體。該多面體推廣並統一了美國科學院院士Richard P.Stanley 1986年定義的兩類重要多面體——序多面體與鏈多面體。我們將著重研究序鏈多面體的整性、體積、Ehrhart函式，以及序鏈多面體與序多面體或鏈多面體之間的麼模等價問題。. 本項目的研究成果將極大地豐富凸多面體組合理論，並進一步推動組合數學研究與代數、幾何、拓撲、數論等數學分支的融合，具有重要的理論價值。

結題摘要

本項目主要研究了一類與偏序集相關的多面體上的組合學。 由於這類多面體推廣並統一了美國科學院院士Richard P. Stanley 1986年定義的兩類重要多面體——序多面體與鏈多面體，我們稱之為序鏈多面體。 我們著重研究了序鏈多面體的整性、體積以及序鏈多面體與序多面體或鏈多面體之間的麼模等價問題。具體而言，我們證明了以下重要結果：(1) 一個有限偏序集的任一個邊集二部劃分對應的序鏈多面體都是整多面體的充分必要條件是它的Hasse圖是一個無圈圖。(2) 對任意滿足條件|E(P)|≥2的有限偏序集P，總存在一個非平凡的邊集二部劃分，使得它對應的序鏈多面體是整多面體。(3) 序鏈多面體這一概念作為新引入的一類0-1多面體具有非平凡性，即對任意正整數d≥6，一定存在不麼模等價於任何一個序多面體或鏈多面體的d維整序鏈多面體。(4) 存在一個不麼模等價於任何一個鏈多面體的5維序多面體。(5) 當P是一個全序集時，對P的邊進行交替劃分得到的序鏈多面體體積最大。以上成果已整理成科研論文《Order-Chain Polytopes》在國際期刊《Ars Mathematica Contemporanea》上發表。此外，在本項目的支持下，我們還研究了凸多面體組合學理論中的其他相關問題。具體而言，在研究多面體的Ehrhart函式方面，我們構造了很大一類具有擬周期瓦解性質（即它們的Ehrhart函式的擬周期比分母小）的有理多面體及無理多面體. 我們證明了整多面體 Ehrhart 理論中的一些經典結果（如Ehrhart 級數的倒易律、單調性、非負性）仍然適用於這類多面體上。相關成果已整理成科研論文《Irrational Triangles with Polynomial Ehrhart Functions》在國際期刊《Discrete& Computational Geometry》上發表。