《幾何中非線性方程緊性與奇點的研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由李嘉禹擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：幾何中非線性方程緊性與奇點的研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李嘉禹
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
非線性方程解的緊性與奇點研究是幾何分析與非線性分析中的重要課題。在本項目中，計畫研究調和映照的緊性、調和映照、熱流以及平均曲率流的奇點。丁偉岳與田剛合作證明2維逼近調和映照列的張量場在L2中有界，則有能量等式成立。我們計畫研究一般的情況。能量極小映照的奇點已經清楚，我們計畫研究穩定調和映照的奇點。我們計畫研究一類熱流的重要奇點，擬調和球面，它的不存在性將導出熱流的長時間存在性。在辛平均曲率流和拉格郎日平均曲率流方面我們已經取得了重要研究成果，我們計畫繼續深入研究，特別是研究第二類奇點的性質。
結題摘要
在本項目中，我們研究了非線性方程解的緊性與奇點性質。丁偉岳與田剛合作證明2維逼近調和映照列的張量場在L2中有界，則有能量等式成立。我們證明，張量場在Lp（p＞6/5）時結果仍然成立，特別地，如果靶流形是球面，張量場在L log L中有界，能量等式就成立。我們研究了辛平均曲率流第二類奇點的性質。在復射影空間中我們發現了辛平均曲率流長時間存在及收斂的條件。我們發現，外圍空間不需要是Kahler-Einstein曲面，只要是幾乎Kahler-Einstein曲面，甚至於，只要外圍空間沿著Kahler-Ricci流運動，已知的辛平均曲率流結果依然成立。我們研究了Yang-Mills-Higgs流在無窮遠處的性態，證明了Kobayashi猜測：Higgs叢半穩定的充要條件是其上存在漸進的Hermitian-Einstein結構。預訂Q-曲率問題是四維黎曼幾何中共形幾何問題。它是四階非線性方程。張聖蓉等在這方面做出了許多重要工作。對於總Q-曲率是特定值8\pi^2時，這個問題更為困難。我們得到了一個充分條件。
