平坦模(flat module)是一類重要的模，投射模一定是平坦模，反之不一定成立。環A上每個左A平坦模是投射模的充分必要條件是，環A是左完全環。
基本介紹
- 中文名：平坦模
- 外文名：flat module
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：模論
定義,相關性質定理,
定義
定義1 平坦模是一類重要的模。右A模M，若函子
-是正合的，則稱
是平坦模。類似地，對左A模M，若函子-
正合，則稱
是平坦模。投射模一定是平坦模，反之不一定成立。環A上每個左A平坦模是投射模的充分必要條件是，環A是左完全環。
定義2
-模
叫作平坦的，若對每個單同態
相關性質定理
推論1平坦模的同構像也是平坦的。
定理2令
(或
)，則有：
是平坦的
是平坦的。
定理3每個投射模都是平坦的。
引理4設有
-模
和
，
(1) 若
，則存在有限生成子模
與
（
）使得
。
(2)設
，則
。
推論5 設
是一個模且使它的每個有限生成子模包含在一個平坦子模內，則M是平坦的。
推論6若對一個同態
和一個模
，
定理7對模
，下列敘述是等價的：
(1)是平坦的；
(2) 對每個有限生成右理想
，及包含映射
，則
是單同態；
(3) 
是內射的。
定理8對於環
，下列條件是等價的：
(1) 每個模
是平坦的；
(2) 對每個元素
，存在一個元素
使得
；
(3) 
的每個循環右理想是
的直和項；
(4) 
的每個有限生成有理想是的直和項。
引理9 令是平坦的，
表示包含映射，則下列是等價的：
(1) 
是單同態；
(2)
。
定理10令是平坦的，
，則下列是等價的：
(1) 
是平坦的；
(2) 
對每個有限生成理想成立。
定理11令
是投射的，
，如果
是平坦的，則
。
推論12令是投射模，且
，則
。
