平均曲率流中自相似解問題

項目摘要

平均曲率流中一個很有趣且很重要的問題就是奇性分析。1984年，Huisken開始從偏微分方程角度來對它進行研究,取得了突破性的進展。之後平均曲率流成為國際上一個非常熱門的研究領域。本項目擬對平均曲率流的自相似解問題進行研究。具體研究內容如下：1. 在不假定多項式體積增長的條件下，對高余維歐氏空間中完備的自收縮運算元進行研究，探討其第二基本形式模長平方是否一直存在gap現象；2. 完備自收縮運算元的F-穩定性研究；3.將研究平均曲率流的方法技巧類推到Willmore流上。總體思路是：1.估計第二基本形式模長平方的上下界，說明是否存在gap現象。進而對相關子流形進行研究，包括分類，F-stable等。2. 國內外對Willmore流的研究不多。這部分，我們擬藉助Huiskeni等文獻中的方法技巧進行研究，以期在該領域取得新突破。

結題摘要

1.平均曲率流的研究來源於幾何形變和套用科學領域中很多實際問題，是國際上一個研究熱點。平均曲率流的$\lambda$-超曲面在$lambda=0$時即是n+1維歐氏空間中的self-shrinker. 2. 對帶有多項式面積增長且第二基本形式模長平方有界的完備$lambda$-超曲面進行研究，得到如下結論：（a）若$H(H-\lambda)S\leq H^2$,則超曲面是一個柱面$S^{k}(r)\times \mathbb{R}^{n-k}$, $0\leq k\leq n$. （b）若$\lambda=0$，則完備的超曲面就是完備的self-shrinker，條件$H(H-\lambda)S\leq H^2$變為$H^2(S-1)\leq 0$.從而$H\equiv0$ ( $M$ 即 $\mathbb{R}^{n}$) 或 $S\leq 1$.由此可得：我們的定理是對曹懷東和李海中(Calc. Var. Partial Differential Equations(2013))定理在超曲面下的推廣. （c）我們找到了滿足$H(H-\lambda)S\leq H^2$等號成立的例子. 3.劉西民和潘全香得到了如下結論：（1）在paraconctact 度量 (k,u)-空間和almost-$\beta$-para-Kenmotsu (k,u)-空間中研究二階平行張量的對稱性與反對稱性。證明了，如果paracontact 度量（k,u）-空間M中存在二階對稱張量，則M等價於(n+1)-維平坦流形和常截曲率為(- 4)的n維流形的乘積流形或與associated度量張量為g具有常重數的二階平行張量的$M^{2n+1}$的乘積流形. （2）如果在almost $\beta$-para-Kenmotsu (k,u)空間（k不等於0）中有二階平行張量，則它為$M^{2n+1}$中associated度量張量為g的具有常重數的二階平行張量. （3）對3維almost $\alpha$-para-Kenmotsu 流形在依賴於某些光滑函式k,u 和常值v的ity條件下，給出了3維almost $\alpha$-para-Kenmotsu 流形M的局部結構，其中M要求$k+\alpha^2\neq0$且使得$d\tilde{k}\wedge \eta=0$

平均曲率流中自相似解問題

基本介紹

項目摘要

結題摘要

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