帶有不精確性的隨機模型理論及其套用研究

項目摘要

本課題屬於非線性期望、集值隨機過程理論及套用的研究範疇。這種帶有不精確性的隨機模型起源於經濟、金融與不完整信息下的複雜系統的推斷與決策等問題的研究，有理論研究價值與實際套用意義。本課題主要研究:1)進一步研究容度框架下Fubini定理,研究容度下的條件期望及性質，證明其收斂定理；進一步研究容度理論與集值隨機理論之間的聯繫，證明容度框架下不獨立的隨機變數序列的大數定律與大偏差原理。2）進一步研究集值馬氏過程，證明集值馬氏過程的表示定理；試圖給出集值Ito積分的不等式的正確證明，得到一般集值隨機微分方程強解的存在唯一性定理，研究解的馬氏性與解的比較問題；進一步用集值隨機包含理論研究帶有不精確性利率與波動的期權定價理論。3）首先建立容度框架下的連續型統計模型，並將其套用到金融、生物數據分析。第二是研究帶有不精確性的時間序列分析問題，並將其套用到帶有不確定性的風險資產的收益與風險的估計與預報中。

結題摘要

帶有不精確性的隨機理論起源於金融與不完整信息下的複雜系統的推斷與決策等問題的研究，同時該理論是經典隨機理論的拓展，有理論研究價值與實際套用意義。本課題主要在容度或取值為集合的框架下，研究隨機變數序列的極限定理、積分理論、區間值統計模型及其在帶有不精確性的收益與波動下的期權定價、資產的風險估計等問題。我們得到如下主要研究結果: （1）引入集值隨機變數關於容度的集值Choquet積分,給出了集值隨機變數的Choquet可積的表示定理,證明了積分的次可加性和積分不等式,在比以往研究工作較弱的條件下證明了Fatou引理, Lebesgue控制收斂定理和單調收斂定理。研究了容度下的條件期望及其性質。（2）在Banach空間中，證明了有界閉凸集值隨機集和上半連續函式分別在Hausdorff距離和一致Hausdorff距離意義下的大偏差和中偏差原理；在容度下證明了不獨立可交換的隨機變數序列的大數定律。（3）用集值隨機包含建立了帶有不精確性收益率與波動率的股票價格模型，利用倒向隨機微分方程為工具，給出了非線性條件期望的表示定理，討論了期權價格的界的計算，並給出了歐式期權定價的上、下界的計算公式。（4）利用支撐函式引入了集值隨機變數的方差與協方差的概念,建立了區間值線性模型，並給出其最小誤差估計和該估計的性質，證明了最小誤差估計是最優雙線性無偏估計，通過模擬與其它模型的比較說明該模型的有效性和特色，並套用於實際溫度變化數據分析中。利用支撐函式，討論了區間值收益與風險的投資組合的選擇。還在容度框架下討論了風險厭惡的度量問題。（5）在飄移項為集值隨機過程，擴散項為單點值隨機過程的條件下，利用集值Lebesgue積分不等式，證明了集值泛函隨機微分方程強解的存在唯一性定理。（6）由於帶不精確性的隨機理論是以單值的機率測度下的隨機理論為基礎，我們對相關的單值隨機理論做了研究，主要得到：1）在比以往研究較弱的條件下，建立了倒向隨機微分方程的生成元的表示定理和逆比較定理，還對由一類Levy過程驅動的倒向隨機微分方程給出了上述兩個定理。2）在幾個容易驗證且比較廣泛的條件下，研究了一般馬氏過程的擬平穩性和擬遍歷性。3）在局部Lipschitz條件和多項式增長條件下，證明了隨機泛函微分方程幾乎處處漸近穩定，指數漸近穩定和有界性.

帶有不精確性的隨機模型理論及其套用研究

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