布洛赫球面

量子力學中，以自旋物理與核磁共振專家費利克斯·布洛赫（Felix Bloch）姓氏命名的布洛赫球面是一種對於雙態系統中純態空間的幾何表示法。在討論量子位元的場合上常常運用到。

基本介紹

• 中文名：布洛赫球面
• 外文名：Bloch sphere
• 提出者：費利克斯·布洛赫
• 學科：量子力學
• 領域：量子力學
• 相關術語：純態空間

簡介

量子力學是在hilbert空間或投影hilbert空間數學表達式。量子系統的純態空間由相應希爾伯特空間（或投影希爾伯特空間點）的一維子空間給出。對於二維希爾伯特空間，這是一條簡單的複雜投影線。

布洛赫球是一個單位二維球面，每一對對應點對應相互正交態矢。布洛赫球面的北極和南極通常分別對應於電子的自旋向上態和自旋向下態標準基矢的0態和1態，反過來也符合。然而，這種選擇是任意的。

球面上的點對應系統的純態，然而其內部點對應相應的混合態。布洛赫球也可以的推廣到n能級的量子系統，但是其可視化很少有用。

在光學中，布洛赫球又稱為龐加萊球特別代表偏振的不同類型。存在6種一般的偏振類型被稱為瓊斯矢量。布洛赫球體上的自然度規是富比尼–施圖迪度量。這個圖是三維的單位球在二維態矢空間cc到布洛赫球面是霍普夫纖維化。

與純態對應

對量子位元這樣的二階量子系統而言，其存在的可能狀態（採用狄拉克標記的右矢表示）可以由兩個互相正交的基底以複數線性疊加所構成，這兩個基底可以選用為代表。在物理實作上，代表了做投影式量子測量所會得到的唯二結果。

從任意純態出發：

故可設：

其中稱作共同相位（global phase），因為對都一樣影響，而在實驗上測量不出來，故可以將之捨棄不看。

至於相對相位(relative phase) 就不同了，它的影響可以在球面上表現出來。故得：

可以看到的係數是實數，並且在原先所代表的是複數的長度（模、幅值，amplitude），故結果要是非負實數；亦是如此道理。故可定出的範圍如下：

將的所有分布在三維空間中畫出來，就可以得到一個球面，此即布洛赫球面。

可以注意到正交（有“垂直，呈90度關係”的意思）的兩個基底，在此幾何表示法下成為一軸的兩端，變成180度關係。通常設定它們處在z軸，即：

是；是；離球心距離皆是1。

與混合態對應

布洛赫球（Bloch ball）是布洛赫球面的擴充，混合態（mixed state）會出現在球內（離球心距離<1的點）而不是球面上。並可從此推論出球心該點所代表的量子狀態是最大混合態（maximally mixed state），用密度矩陣形式及狄拉克標記表示即（另見“量子位元”）：

可以看到這是兩個彼此正交的純態以恰好一半一半的比例構成混合態。

表示差異

有些學者及書刊對於球面所採用的表示為：

角度範圍：

是故，其狀態的定義為：

此種表示法的用意在使布洛赫球面上表示方式和一般中的球面以球坐標表示方式一致。