富比尼–施圖迪度量

在數學中，富比尼–施圖迪度量（Fubini–Study metric）是射影希爾伯特空間上一個凱勒度量。所謂射影希爾伯特空間即賦予了埃爾米特形式的復射影空間 CPⁿ。這個度量最先由圭多·富比尼與愛德華·施圖迪在1904年與1905年描述。

基本介紹

• 中文名：富比尼–施圖迪度量
• 外文名：Fubini–Study metric
• 定義：射影希爾伯特空間上一個凱勒度量
• 提出者：圭多·富比尼與愛德華·施圖迪
• 提出時間：1904年與1905年
• 學科：數學

構造

富比尼–施圖迪度量自然出現於復射影空間的商空間構造。

具體地，可以定義CPⁿ由Cⁿ⁺¹中復直線組成的空間，即Cⁿ⁺¹在將一點與其所有複數倍聯繫在一起的等價關係下的商。這與在乘法群C^*=C\ {0} 的對角群作用下的商相同：

這個商將Cⁿ⁺¹實現為底空間CPⁿ上的複線叢（事實上這就是CPⁿ上所謂的重言叢）。CPⁿ中的一點等同於 (n+1)-元組 [Z₀,...,Z_n] 模去非零復縮放的一個等價類；這些Z_i稱為這個點的齊次坐標。

進一步，我們可以分兩步實現這個商：因為乘以一個非零複數z=R e可以惟一地想成一個以模長R為因子的縮放與沿著原點一個逆時針旋轉角度 的複合，商Cⁿ⁺¹→CPⁿ分成兩塊。

其中第 (a) 步以正實數乘法群R⁺的縮放Z~RZ，這裡R∈R⁺，作商；步驟 (b) 是關於旋轉Z~e^jθZ的商。第 (a) 步所得的商是由方程 |Z| ²= |Z₀|² +...+|Z_n| ²=1 所定義的實超球面S²ⁿ⁺¹。第 (b) 步的商實現為CPⁿ=S²ⁿ⁺¹/S¹，這裡S¹表示旋轉群。這個商由著名的霍普夫纖維化S¹→S²ⁿ⁺¹→CPⁿ實現 ，纖維屬於 中的大圓。

曲率性質

在n= 1 的特例，富比尼–施圖迪度量具有恆等於 4 的數量曲率，因為它與 2-球面的圓度量等價（半徑R球面的數量曲率是 ）。但是，對n> 1，富比尼–施圖迪度量沒有常曲率。其截面曲率由下列方程給出

這裡 是 2-維平面 σ 的一個標準正交基，J:TCPⁿ→TCPⁿ是CPⁿ上的復結構，而 是富比尼–施圖迪度量。

富比尼–施圖迪度量經常稱為有等於 4 的常全純截面曲率。這使CPⁿ成為一個（非嚴格的）四分之一拼擠流形（quarter pinched manifold）；一個著名的定理指出嚴格四分之一拼擠單連通n-流形一定同胚於球面。富比尼–施圖迪度量也是一個愛因斯坦度量，它與里奇張量成比例：存在一個常數 λ 使得對所有i,j我們有

除此以外，這蘊含著，在差一個數量相乘的意義下，富比尼–施圖迪度量在里奇流下不變。這也使CPⁿ與廣義相對論不可分離，它是真空愛因斯坦方程的一個非平凡解。

量子力學

富比尼–施圖迪度量可以用量子力學中廣泛使用的狄拉克符號，或代數幾何中的射影簇記號來定義。為了將兩種語言清楚地等同起來，令

這裡 是希爾伯特空間的一個正交規範基向量集合， 是複數，而是射影空間 中一點在齊次坐標中的標準記號。那么，給定空間中兩點 與 ，它們之間的距離是

或等價地，在射影簇記號中，

這裡 是 的復共軛。分母中出現的提醒了 以及類似的 不是單位長規範化的；故這裡明確地做了一個規範化。在希爾伯特空間中，此度量可相當平凡地理解為兩個向量之間的角度；故它又稱為量子角（quantum angle）。這個角度是實值的，取值於零到。

通過取，或等價地，馬上可以等到這個度量的無窮小形式

在量子力學中，CP叫做布洛赫球面；富比尼–施圖迪度量是量子力學幾何化的自然度量。量子力學的許多獨特的行為，包括量子糾纏和貝里相位（Berry phase）效應，可以歸於富比尼–施圖迪度量的特性。

乘積度量

通常的可分性概念適用於富比尼–施圖迪度量。更準確地講，此度量在射影空間的自然乘積塞格雷嵌入（Segre embedding）中是可分的。這是說如果是一個可分態，從而可以寫成 ，則度量是子空間上度量之和：

這裡是在子空間A與B上各自的度量。

相關條目

• 非線性σ模型（Non-linear sigma model）
  
• 卡魯扎-克萊因理論