對偶映射

對偶映射(dual mapping)，數學專業術語，亦稱轉置映射。一種特殊的線性映射。是指線性代數中共扼變換的推廣。由對偶關係確定的從巴拿赫空間到其對偶空間的集值映射。

基本介紹

• 中文名：對偶映射
• 外文名：dual mapping
• 領域：數學
• 別稱：轉置映射
• 性質：特殊的線性映射
• 空間：巴拿赫空間

概念

對偶映射(dual mapping)是線性代數中共軛變換的推廣。設E*，E與F*，F是對偶空間，φ是E到F的線性映射，φ*是F*到E*的線性映射。若對任意x∈E，y*∈F*，有：

則稱φ與φ*是一對對偶映射。設φ是E到F的線性映射，若φ的對偶映射存在，則是惟一的。若E是有限維的，則φ的對偶映射是存在的，因而是惟一的。設E*_i與E_i，F*_i與F_i(i=1，2)是對偶的向量空間，φ是E₁→E₂，ψ是F₁→F₂的線性映射。若φ*與ψ*存在，則：

性質

由對偶關係確定的從巴拿赫空間到其對偶空間的集值映射。設X是巴拿赫空間，X為其對偶空間。設μ是一個規範函式，即μ：[0，+∞)→[0，+∞)滿足條件：μ(0)=0，μ嚴格遞增，

定義集值映射J_μ：X→2^X*為：

這樣定義的集值映射J_μ稱為是以μ為規範函式的對偶映射。μ(t)=t時對偶映射J稱為標準對偶映射。對偶映射是齊次的，此外有下述結論：

1.J為滿值⇔X是自反的。

2.J為嚴格單調⇔X是嚴格凸的。

3.J為單值映射⇔X是光滑的。

4.J為線性運算元⇔X是希爾伯特空間。

對於自反巴拿赫空間，總可取X中的等價範數使得X和X都是嚴格凸的，此時J：X→X是單值、嚴格單調、有界滿值、次連續的(S)₊型映射。

共軛變換

亦稱轉置變換。一種重要的線性變換。設V是域P上的線性空間，J是P的對合自同構(即J=J^-1)，φ是V上的非退化埃爾米特(反埃爾米特)函式，σ是V的線性變換.若存在V的線性變換σ*，使對V中任二向量α，β滿足條件φ(σ(α)，β)=φ(α，σ*(β))，則稱σ*為σ的共軛變換；若σσ*=σ*σ，則稱σ為正規變換；若σ=σ*(-σ*)，則稱σ為自共軛(反自共軛)變換，或埃爾米特(反埃爾米特)變換；若J是P的自同構，則φ為V上的非退化對稱(反對稱)雙線性型。此時V的自共軛(反自共軛)變換，亦稱為對稱(反對稱)變換。

對偶空間

對偶空間是一種特殊的線性空間。即線性空間的線性函式空間。設V是域P上的線性空間，V的所有線性函式構成的域P上的線性空間，稱為V的對偶空間，記為V(即Hom_P(V，P))。當dim V=n，並且ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基時，由等式ε*_i(ε_j)=δ_ij(i，j=1，2，…，n)所確定的n個線性函式ε₁，ε₂，…，ε_n是V的基，稱為基ε₁，ε₂，…，ε_n的對偶基。由上知，當dim V=n有限時，dim V*=dim V=n；但當dim V無限時，二者不再相等，即它們的基元素不再是一一對應的。

線性映射

亦稱同態或線性同態。線性代數的中心內容和基本概念之一。是同一域上兩個線性空間V與W之間具有線性性質的映射，即V到W的映射φ，若對任意α，β∈V，k∈P，滿足條件：

1.φ(α+β)=φ(α)+φ(β);

2.φ(kα)=kφ(α);

則稱φ為V到W的線性映射，或稱為線性運算元。把V中每一元素映射成W中零元素的映射是線性映射，稱為零映射。若φ是雙射，則稱φ為V與W的線性同構，同時稱φ為線性空間的同構映射。建立了線性同構的兩個線性空間，稱為同構的線性空間。當W=P時，V到P的線性映射也稱為線性函式。

域P上線性空間V到W的全體線性映射的集合，記為Hom_P(V，W).在Hom_P(V，W)中可以引入加法與純量乘法，若對任意的φ，ψ∈Hom_P(V，W)，任意α∈V，k∈P，規定：

φ+ψ： (φ+ψ)(α)=φ(α)+ψ(α)，

kφ： (kφ)(α)=kφ(α)，

則Hom_P(V，W)構成域P上的線性空間。