宮岡-丘不等式

宮岡-丘不等式(Miyaoka-Yau inequality)是由Miyaoka和丘成桐發現的代數曲面的陳類（即陳省身示性類）不等式。

背景介紹

這是代數幾何和微分幾何中非常重要的結果。 這一不等式在高維情形也有類似推廣， 但由於高維情形陳類很複雜， 所以這類推廣並不是很完善。

定義

在代數曲面情形，設X 是非有理曲面的代數曲面， c_1(X), c_2(X)分別是X的第一第二陳類。 Miyaoka-Yau 不等式如下表述:

c_1^2(X)≦3c_2(X).

結合諾特不等式， 上述結果也可表示成

c_1^2(X)≦9χ(O_X).

這裡χ(O_X)是X上結構層O_X的上同調示性類。

這一不等式最早由微分幾何方法獲得， 因此不等式的誤差部分可以由某些正的積分式得到。 等號成立若且唯若X是某個球商曲面。

Miyaoka-Yau不等式在開曲面情形也有類似推廣。

纖維化中的套用

如果f:X→C是曲面纖維化， 那么開曲面上的Miyaoka-Yau 不等式等價於纖維化理論中著名的Vojta不等式, 也稱典範類不等式(Canonical class inequality)。

有趣的是，典範類不等式結合肖剛不等式，可以得到著名的Arakelov不等式。 反過來，利用Viehweg-Zuo 不等式（Arakelov不等式的推廣）的極限情形，又能重新得到典範類不等式。

典範映射中的套用

Miyaoka-Yau 不等式的最直接套用，是估計一般型極小曲面的典範映射的次數上界。比如當典範映射的像曲面的光滑解消模型虧格為0時，可以證明典範映射次數不超過36。 如果對χ(O_X)做一些條件限制， 可以進一步下降典範映射的次數上界估計。