典範類不等式

曲面纖維化上的典範類不等式（Canonical inequality）， 在半穩定情形下，也稱為Vojta不等式。 設f:X→C是虧格g的半穩定纖維化， 底曲線的虧格 g(C)=b. 設s是奇異纖維的個數。

基本介紹

• 中文名：典範類不等式
• 條件：半穩定情形下
• 也稱為：Vojta不等式
• 屬於：代數幾何理論

定義

典範類不等式表示為：

ω_{X/C}·ω_{X/C}≦(2g-2)(2b-2+s).

這裡ω_{X/C}是相對典範層， ω_{X/C}·ω_{X/C} 是相對典範除子的自交數（就是和自身的相交數）。

如果f不是半穩定纖維化， 那么不等式需要修改為：

ω_{X/C}·ω_{X/C}≦(2g-2)(2b-2+3s).

這一推廣結果來自於談勝利 關於基變換的工作。

高維情形也有類似的不等式。

背景

典範類不等式是代數幾何理論（特別是代數曲面理論）中重要的不等式。 它反映了曲線模空間 中一類除子的測度性的估計。

在曲面情形，典範類不等式等價於開曲面上的宮岡-丘不等式。 它也可以看成是左康-Viehweg的推廣Arakelov不等式 的極限情形。 在數論上（比如算術代數幾何）， 它等價於某類高度不等式。有趣的是， 典範類不等式結合肖剛不等式，又可以重新得到原始的Arakelov不等式。

推廣與套用

典範類不等式在高維情形也有類似的推廣。此外在特徵p的代數曲面上， Szpiro給出了類似的不等式。

利用典範類不等式， 可以給出了某些數值量的上界估計， 比如f的臨界點個數等等。此外， 它還能轉化為數論中的高度不等式， 套用於不定方程的求解問題。