有理曲面

有理曲面

代數幾何里,有理曲面(rational surface)是指一個雙有理等價於投影平面的曲面。

基本介紹

  • 中文名:有理曲面
  • 外文名:rational surfaces
  • 定義:雙有理等價於投影平面的曲面
  • 套用學科代數幾何
  • 所屬領域:數學
  • 屬於:復曲面
定義,結構,定理,例子,

定義

代數幾何里,有理曲面(rational surface)是指一個雙有理等價於投影平面的曲面;換句話說,即為一個二維有理簇。有理曲面是復曲面的十餘種恩里克斯-小平分類中最簡單的一類,且是第一個被研究的曲面。

結構

每個非奇異曲面均可透過重複拉開最小有理曲面而取得。最小有理曲面可為投影平面,或希策布魯赫平面Σr,其中r= 0 或r≥ 2。
不變數:有理曲面的正則虧格均為0,其基本群均是平凡的。
霍奇鑽石:
1
0
0
0
1+n
0
0
0
1
其中,n等於 0 時為投影平面,等於 1 時為希策布魯赫曲面,大於 1 時則為其他有理曲面。
除了希策布魯赫曲面Σ2m為偶么模格II1,1之外,皮卡群均為奇么模格 I1,n

定理

卡斯特爾諾沃定理
吉多·卡斯特爾諾沃證明,任一復曲面,若使得 q 及P2(不規則點及第二正則虧格)均消失,則該曲面為有理曲面。該定理被用於恩里克斯-小平分類中,以識別有理曲面。扎里斯基於1958年證明,卡斯特爾諾沃定理在特徵為正的體上亦成立。
卡斯特爾諾沃定理也意指任一單有理復曲面都是有理曲面,因為若一復曲面為單有理曲面,則其不規則點與正則虧格會小於有理曲面的不規則點與正則虧格,因此均為 0,所以該曲面為有理曲面。大多數三維以上的單有理復簇都不是有理曲面。在特徵 p > 0 時,扎里斯基於1958年發現,不是有理曲面,但為單有理曲面(扎里斯基曲面)之例子。
曾有一段時間不知道 q 及P1均消失的復曲面是否均為有理曲面,直到費德瑞格·恩里克斯找到一個反例(稱為恩里克斯曲面)為止。

例子

  • 博爾迪加曲面:投影平面於P之6次嵌入。
  • 沙德烈曲面。
  • 科布爾曲面。
  • 立方曲面:非奇異立方曲面同構於6個點拉開的投影平面,且為法諾曲面。有名的例子包括費馬立方、凱萊立方曲面及克萊布希對角曲面。
  • 法諾曲面。
  • Enneper曲面。
  • 希策布魯赫曲面Σn
  • 兩個投影線的積P×P為希策布魯赫曲面 Σ0。該曲面是唯一具有兩種不同直紋之曲面。
  • 投影平面。
  • 塞格雷曲面:兩個二次曲面的相交,同構於5個點拉開的投影平面。
  • 羅馬曲面:在P內,具奇異點,且雙有理等價於投影平面之曲面。
  • White surfaces, a generalization of Bordiga surfaces.
  • 白曲面,博爾迪加曲面的廣義化。
  • 維羅納曲面:投影平面於P之嵌入。

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