定態微擾論

對於大量的實際物理問題，Schrodinger方程能有精確解的情況很少。通常體系的 Hamilton 量是比較複雜的，往往不能精確求解。因此，在處理複雜的實際問題時，量子力學求問題近似解的方法（簡稱近似方法）就顯得特別重要。

微擾論是各種近似方法中最基本的一種，它的許多結果幾乎成為量子力學理論的組成部分。和變分法配合使用可以得出精確度較高的結果。

基本介紹

• 中文名：定態微擾論
• 外文名：Steady state perturbation theory
• 領域：量子力學
• 本質：求問題近似解的方法
• 分類：非簡併態微擾論等
• 相關名詞：變分法

簡介

對於大量的實際物理問題，Schrodinger方程能有精確解的情況很少。通常體系的 Hamilton 量是比較複雜的，往往不能精確求解。因此，在處理複雜的實際問題時，量子力學求問題近似解的方法（簡稱近似方法）就顯得特別重要。

近似方法的出發點：近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發，來求較複雜問題的近似（解析）解。常用的近似方法有微擾論、變分法等等

量子力學體系的哈密頓算符不是時間的顯函式時，通過求解定態薛丁格方程，討論定態波函式。除少數特例外，定態薛丁格方程一般很難嚴格求解，這樣近似方法在量子力學中就顯得十分重要。

微擾論是各種近似方法中最基本的一種，它的許多結果幾乎成為量子力學理論的組成部分。和變分法配合使用可以得出精確度較高的結果。

定態微擾理論

求解定態薛丁格方程

時，若可以把不顯函時間的分為大、小兩部分：

其中 ：

（1）的本徵值和本徵函式是可以精確求解的，或已有確定的結果

（2）很小，稱為加在上的微擾，有時為了表達這種微擾的程度，常引入一個很小參數，將微擾寫成

下面以分離譜為例，分兩種情況進行討論。

非簡併態微擾論

微擾對非簡併態的影響

非簡併態是指的每一個本徵值只有一個本徵函式與之對應，當加上微擾時，，所以，，即微擾的出現是能級和波函式發生變化。

微擾的基本思想

微擾的基本思想就是以逐步近似的精神求解薛丁格方程。當

時，受微擾後的能級和波函式以的冪級數展開：

與稱為零級近似能量和零級近似波函式，是未受微擾時的本徵能量和本徵函式，也是我們求解微擾問題的必備基本條件，後面各項按的冪次稱為一級修正、二級修正、…

把（4）、（5）式代入薛丁格方程（1）中，得到以的冪次區分的一系列方程：

求解以上方程便可得能量和波函式的一級修正、二級修正、…

各級修正公式

零級近似：由（6）式可得零級近似即為與。

一級修正：首先將用展開：

代表求和項中不包含l=n項，這是因為附加在上仍是（6）式的解。代入（7）式，然後將上式兩邊同乘以並對空間積分，注意l≠n及的正交歸一性，得能量的一級修正為

能量的一級修正等於在態（零級近似）下的平均值。

同理得到波函式的一級修正為

說明

①用微擾矩陣元求時，要“對號入座”；

②要充分利用H'對稱性，以減少計算量 ；

③在有些問題中，，這時有必要計算能量的二級修正值；若，一級修正已夠用。至於，一般求和項不可能全為零，故，一級修正即可。

微擾論的適用範圍

一是要求微擾本身應很小；

二是要求能級間隔較大，二者是相對的。

簡併態微擾論

簡併態下，微擾的作用可能使能級發生分裂，即微擾可使簡併消除或部分消除

零級近似

設的某個能級是k度簡併的

當微擾加入後，薛丁格方程變為

即便只考慮零級近似，波函式也不一定是原來的，而可能是那些簡併本徵態的線性組合，這同非簡併態不同，確定零級近似波函式是非常重要的一步。

能量的一級修正

簡併情況下能級的一級近似為：

若k個根各不相等，則簡併能級分裂成k個，簡併完全消除；

若的k個根中仍有重根，則簡併只是部分消除。

零級近似波函式

從久期方程解出後，把每一個分別代入，解出（一般只能解出之間的比例，要歸一化後才能確定），即可得到與相對應的零級近似波函式。對應於k個不等的，這樣的方程組要解k個。