費曼-海爾曼定理

量子力學中，費曼–海爾曼定理描述的是一個體系的能量對某個參量的導數與哈密頓量算符對同一參量的導數的期望值之間的關係。根據這一定理，通過求解薛丁格方程得到電子密度的空間分布後，體系中的所有力都能通過經典靜電學求出。

基本介紹

• 中文名：費曼–海爾曼定理
• 外文名：Feynman-Hellman theorem
• 學科：量子力學
• 領域：量子物理學
• 相關術語：哈密頓量算符
• 相關人物：泡利、海爾曼以及費曼

緒論

費曼(R.F.Feynman)-海爾曼(H.Hellma-nn)定理又稱費曼一海爾曼關係，發表於30年代後期。它套用極廣，既可用作理論分析，又可用於具體計算。凡用維里定理可以處理的問題，肯定都可以用費曼一海爾曼定理(以下簡稱F-H定理)來處理。H-F定理的用處遠在維里定理之上，在量子力學教材中占有一席地位。

概念

費曼–海爾曼定理分別被不同的物理學家獨立地證明過，包括Paul Güttinger（1932）、泡利（1933）、海爾曼（1937）以及費曼（1939）。

該定理的表達式如下：

式中

表示依賴於連續變化的參變數的哈密頓量；

是該哈密頓量的本徵函式，通過哈密頓量間接依賴於；

為能量，即哈密頓量的本徵值；

為積分微元。上述積分在全空間進行。

特例

對於隨時間變化的波函式的費曼–海爾曼定理來說，因為一個一般的隨時間變化的波函式滿足含時薛丁格方程，所以費曼–海爾曼定理不再適用。

但是，該波函式滿足以下關係：

其中ψ滿足：

理論證明

以下證明只依賴於薛丁格方程，以及對於λ和t求偏導時，可以互換順序的假設。