完備布爾代數

定義

完備布爾代數是一種特殊的布爾代數，即每個子集都有最小上界和最大下界的布爾代數。

對於無限基數𝛋，每個基數小於𝛋的子集都有最小上界和最大下界的布爾代數稱為𝛋完備布爾代數。

(可數基數)完備布爾代數稱為σ完備布爾代數。

1、由德・摩根律，對於完備性（𝛋完備性），只需布爾代數的每個子集（每個基數小於𝛋的子集）有最小上界（或最大下界）即可。

2、冪集代數是完備的；反過來，每個完備的集合代數都同構於一個冪集代數。

3、每個𝛋完備的且(𝛋,2)可分配的布爾代數是𝛋可表示的。

4、每個σ完備的布爾代數是σ可表示的。

布爾代數起源於數學領域，是一個用於集合運算和邏輯運算的公式：〈B，∨，∧，¬ 〉。其中B為一個非空集合，∨，∧為定義在B上的兩個二元運算，¬為定義在B上的一個一元運算。

通過布爾代數進行集合運算可以獲取到不同集合之間的交集、並集或補集，進行邏輯運算可以對不同集合進行與、或、非。