安培環路定理

在穩恆磁場中，磁感應強度B沿任何閉合路徑的線積分，等於這閉合路徑所包圍的各個電流的代數和乘以磁導率。這個結論稱為安培環路定理（Ampere circuital theorem）。

安培環路定理可以由畢奧－薩伐爾定律導出。它反映了穩恆磁場的磁感應線和載流導線相互套連的性質。

基本介紹

• 中文名：安培環路定理
• 外文名：Ampere circuital theorem
• 提出者：安培
• 套用學科：物理
• 適用領域範圍：電磁學
• 驗證：可以由畢奧－薩伐爾定律導出
• 別稱：安培定律

簡介

它的數學表達式是

按照安培環路定理 ，環路所包圍電流之正負應服從右手螺旋法則。如果閉合路徑l包圍著兩個流向相反的電流I₁和I₂（ 如左圖所示）

安培環路定理套用

按圖中選定的閉合路徑l 的繞行方向，B矢量沿此閉合路徑的環流為

如果閉合路徑l包圍的電流等值反向，或者環路中並沒有包圍電流，則：

積分形式

電流I在一個曲面 上的通量，等於B場沿著 的邊緣閉合迴路 的路徑積分。採用國際單位制，原版安培定律的積分形式可以寫為：

。

請注意到這方程有些模糊之處，需要特別澄清：

第一，邊界曲線 的正向與曲面 的側符合右手規則。

第二，（固定 ）定理之成立與以 為邊界 的的選擇無關。

安培定律可由畢奧-薩伐爾定律和磁場的疊加性證明（請參閱畢奧-薩伐爾定律）。在靜磁學中，安培定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

微分形式

根據開爾文－斯托克斯定理，這方程也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程才成立。採用國際單位制，這方程表示為

。

磁場 的旋度等於（產生該磁場的）傳導電流密度 。

缺點

原版安培定律只適用於靜磁學。在電動力學里，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程，

；

其中， 是B場， 是磁常數， 是總電流。

取散度於這方程，則會得到

。

套用一個矢量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，

。

這意味著電流密度的散度等於零：

。

在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。

一個正在充電的電容器，左邊的圓形金屬板，被一個假想的封閉圓柱表面 包圍。這圓柱表面的右邊表面 處於電容器的兩塊圓形金屬板之間，左邊表面 處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面 ，而有電流 I通過表面 。

舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面 的邊緣為閉合迴路 。套用安培定律，

。

在這裡， 是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路 。所以，這任意曲面可以是表面 ，而 是I；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面 ，而由於通過這任意曲面的電流是 0， 是0。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裡，是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題，安培定律必須加以修改延伸。套用流體力學的方法，麥克斯韋摹想磁場為電介質渦旋（vortex）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，麥克斯韋將位移電流項目加入了安培定律。

證明方法

如果在某個載流導體的穩恆磁場中可以找到一條閉合環路l，該環路上的磁感強度B大小處處相等，B的方向和環路的繞行方向也處處同向，載流長直螺線管內磁場 套用安培環路定理 忽略了左右下的部分，證明並不是在環路上B的大小處處相等環路方向與磁感應強度方向相同處，B的大小方向處處相等。

對稱環路

在垂直於長直載流導線的平面內，以載流導線為圓心作一條半徑為r 的圓形環路l，

則在這圓周上任一點的磁感強度H的大小為

其方向與圓周相切．取環路的繞行方向為逆時針方向，取線元矢量dl，則H與dl間的夾角 ，H沿這一環路 l 的環流為

式中積分 是環路的周長。

於是上式可寫成為

從上式看到，H沿此圓形環路的環流 只與閉合環路所包圍的電流I 有關，而與環路的大小、形狀無關。

任意環路

在垂直於長直載流導線的平面內，環繞載流直導線作一條如下圖所示的任意環路l，取環路的繞行方向為逆時針方向。

在環路上任取一段線元dl，載流直導線線上元dl處的磁感強度B大小為

H與dl的夾角為 ，則H對dl的線積分為

直導線中心向線元的張角為 ，則有 ，所以有

可見，H對dl的線積分與到直導線的距離無關。

那么B對整個環路的環流值為

上述計算再次說明H的環流值 與環路的大小、形狀無關。

不包圍電流

在垂直於長直載流導線的平面內，在載流直導線的外側作一條如下圖所示的任意環路l，取環路的繞行方向為逆時針方向。

安培環路定理套用

以載流直導線為圓心向環路作兩條夾角為 的射線，在環路上截取兩個線元 和 。 和 距直導線圓心的距離分別為 和 ，直導線在兩個線元處的磁感強度分別為 和 。從上圖可以看出 ，而 。利用安培環路定理的證明之二的結論可知

結論

所以有：

從載流直導線中心O出發，可以作許多條射線，將環路分割成許多成對的線元，磁感強度對每對線元的標量積之和，都有上式的結果，故 即環路不包圍電流時，B的環流值為零。

安培環路定理反映了磁場的基本規律。和靜電場的環路定理 相比較，穩恆磁場中B 的環流 ，說明穩恆磁場的性質和靜電場不同，靜電場是保守場，穩恆磁場是非保守場。

計算套用

利用安培環路定理求磁場的前提條件：如果在某個載流導體的穩恆磁場中，可以找到一條閉合環路l，該環路上的磁感強度B大小處處相等，B的方向和環路的繞行方向也處處同向，這樣利用安培環路定理求磁感強度B的問題，就轉化為求環路長度，以及求環路所包圍的電流代數和的問題，即

安培環路定理套用

利用安培環路定理求磁場的適用範圍：在磁場中能否找到上述的環路，取決於該磁場分布的對稱性，而磁場分布的對稱性又來源於電流分布的對稱性。因此，只有下述幾種電流的磁場，才能夠利用安培環路定理求解。

1.電流的分布具有無限長軸對稱性

2.電流的分布具有無限大面對稱性

3.各種圓環形均勻密繞螺繞環

利用安培環路定理求磁場的基本步驟

1.首先用磁場疊加原理對載流體的磁場作對稱性分析；

2.根據磁場的對稱性和特徵，選擇適當形狀的環路；

3.利用公式求磁感強度。