子布爾代數(subalgebra of a Boolean algebra)是布爾代數的子代數，結構〈A，+A，·A，′A，0A，1A〉是布爾代數〈B，+B，·B，′B，0B，1B〉的子代數，是指A⊆B，0A=0B，1A=1B，運算+A，·A，′A是運算+B，·B，′B限制到A且A在運算+A，·A，′A下封閉。設B=〈B，+，·，′，0，1〉是布爾代數，S⊆B，B必有子代數，其論域包含S(例如B本身就是)，對B的一切其論域包含S的子代數作交集，可得B的子代數B0，稱為其論域包含S的最小子布爾代數。
基本介紹
- 中文名：子布爾代數
- 外文名：subalgebra of a Boolean algebra
- 所屬學科：數學（布爾代數）
- 簡介：布爾代數的子代數
基本介紹,例題解析,
基本介紹
定理1 設(B，∨，∧，﹣，0，1)是一個布爾代數，S⊆B。如果S含有元素0和1，並且在運算∨、∧和﹣下封閉，則(S，∨，∧，﹣，0，1)是一個布爾代數。
證明 由於S⊆B，0，1∈S且S在運算∨，∧和﹣下封閉，所以，如果a∈S，則
∈S，於是Huntington公理中的(3)和(4)顯然在S中成立；又交換律和分配律是繼承的，所以(S，∨，∧，﹣，0，1)是一個布爾代數。
由此，有如下定義：
子布爾代數 設(B，∨，∧，﹣，0，1)是一個布爾代數，s⊆B。如果S含有元素0和1，並且在運算∨，∧和﹣下封閉，則稱(S，∨，∧，﹣，0，1)是(B，∨，∧，﹣，0，1)的子布爾代數。
實際中，驗證B的一個非空子集S是否是子布爾代數，不需要按定義進行，只須驗證該子集對運算{∨，﹣}或{∧，﹣}封閉就可以了。這是因為若S≠∅且S對運算{∨，﹣}封閉，則存在a∈S，所以∈S，1=a∨∈S，0=
∈S，且對∀a，b∈S，有
例題解析
例1 (1)對任何布爾代數(B，∨，∧，﹣，0，1)恆有子布爾代數(B，∨，∧，﹣，0，1)和({0，1}，∨，∧，﹣，0，1)，它們被稱為(B，∨，∧，﹣，0，1)的平凡子布爾代數。
(2)考察圖1所示的布爾代數(B，∨，∧，﹣，0，1)。
圖11)S1={a，f，0，1}，S2={b，e，0，1}。由於S1、S2都含有0和1，且均對運算∨，∧和封閉，所以(S1，∨，∧，﹣，0，1)、(S2，∨，∧，﹣，0，1)均是(B，∨，∧，﹣，0，1)的子布爾代數。
2)S3={a，e，c，1}，S4={e，c，f，0}。由於S3不含0，S4不含1，所以它們都不是(B，∨，∧，﹣，0，1)的子布爾代數，但它們本身都構成布爾代數。
3)S5={a，c，0，1}對運算﹣不封閉(因為
)，所以S5不能構成(B，∨，∧，﹣，0，1)的子布爾代數。
