在大地測量中，地球重力場的研究在理論上歸結為解算大地測量邊值問題。大地測量邊值問題是物理大地測量學的主要理論支柱，是研究地球重力場的理論基礎，自然也是局部重力場逼近的基本理論。這一邊值問題可簡單表述為：在大地水準面或地球自然表面上給定邊值條件及相應的邊值(如重力向量和重力位的測定值)，確定該邊界面及其外部引力位，使其滿足邊值條件並在無限空間內是調和函式。
基本介紹
- 中文名：大地測量邊值問題
- 外文名：geodetic boundary value problem
- 所屬學科：測繪
- 相關術語：大地測量
問題的提出,基礎理論,研究進展,
問題的提出
現代重力測量技術的迅速發展，為地球重力場的確定提供了多種類型的邊值條件。從而出現了新型大地測量邊值問題。特別是衛星重力梯度計畫的實現，能夠在地球外域多個界面上獲得關於擾動位r的邊界條件。理論上，這些邊界條件應該是嚴格相容的，但邊界條件是通過某種測量手段和基於某種數學模型計算得到的，其中必然包含某些誤差．如測量誤差、模型誤差、計算誤差等，以至於它們實際上不可能相容。從而產生所謂超定邊值問題。
基礎理論
在大地測量邊值問題可簡單表述為：在大地水準面或地球自然表面上給定邊值條件及相應的邊值(如重力向量和重力位的測定值)，確定該邊界面及其外部引力位，使其滿足邊值條件並在無限空間內是調和函式。位的概念最早是由法國數學家Legendre在1785年首先提出的，這一概念將引力或重力的三個分力合併為一個單獨的位函式來處理，將地球形狀和重力場的研究結合起來，為研究地球形狀和重力場開闢了方便的途徑。位理論後來又經過Green和Gauss等數學家和大地測量學家的研究獲得了很大的發展，進一步揭示了表征位場的基本數學關係，達到了十分完備的地步。
但是，真正把地球形狀和位理論結合起來研究直到19世紀才算開始。這一時期歐洲的大地測量(三角測量)已普遍展開，需要更精確的地球形狀概念，以便為確定地麵點位建立一個大地測量參考坐標系。Listing於1837年首次引進了地球形狀新概念——大地水準面，後來將最接近大地水準面的旋轉橢球面作為大地測量坐標系的參考面，把大地水準面作為計算正高的基準面。英國數學家Stokes為研究和確定大地水準面作出了奠基性貢獻，他發展和完善了Newton和Clairaut關於地球形狀的理論，於1849年建立了著名的Stokes定理：如果一個包含著全部物質的水準面的形狀是已知的，又已知物質的總質量以及它圍繞著某一固定軸而旋轉的角速度，則可以唯一地確定該水準面上及其外部空間任意一點的重力值。這個定理將地球形狀和它表面的重力值聯繫起來。Stokes同時解決了這個定理的逆定理：如果已知一個封閉水準面上的重力值，且其外部無質量，就可以確定這個面的形狀。以大地水準面為邊界面的Stokes問題是第一次提出的大地測量邊值問題，並由此導出了著名的Stokes公式。Stokes理論大大超前於當時的重力測量水平，差不多過了100年，直到1934年芬蘭的Hirvonen第一次套用Stokes公式對大地水準面進行了研究。大地水準面在Stokes問題中起關鍵作用，但也正是因為將大地水準面作為邊界面，才給Stokes問題本身帶來了不可避免的理論缺陷，現時還沒有一種排除大地水準面外部質量的歸算方法對地球本身重力場不產生影響，而且這種歸算都要求有密度分布假設。儘管如此，這種缺陷帶來的誤差在經典大地測量精度要求範圍內一般是容許的，在重力場逼近中，Stokes方法仍將保留它的理論研究價值和很強的套用價值，它的優點是數學形式簡單，是一種最簡單的大地測量邊值問題。
1945年Molodensky對Stokes問題作了重大修改，決定性的一點是屏棄傳統的大地水準面，代之以地球自然表面，提出直接使用不加歸算的地面重力觀測值(重力向量和重力位)同時確定地球表面及其外部位，由此產生了Molodensky邊值問題，它從根本上克服了Stokes問題需要假設地殼密度的困難。Molodensky邊值問題可定義為：假設(1)地球是一個剛體，以定常角速度繞相對於地球固定的自轉軸旋轉；(2)自轉軸通過地球質心；(3)地球的引力場不隨時間而變化，在地球表面S外部是調和的；(4)在S面上每一點的重力向量和重力位是已知的。
研究進展
在重力場逼近理論研究中，邊值問題一直是引人注目的研究課題。自從1949年Stokes按球近似解算了物理大地測量的邊值問題以來，人們總企圖得到在數學上嚴密的、在物理上完善的、符合於現實情況的解。特別是近30年來，隨著重力場觀測資料的迅速增長和電子計算機的普遍套用，這一領域的研究取得了一系列重大進展，在經典方法不斷得到改進的同時又出現了許多新的理論和方法。
首先，自70年代以來，經過數學家和大地測量學家的努力和卓越的工作，Molodensky問題的理論研究已經取得了若干重要進展，這些研究主要涉及以下方面：(1)線性化問題；(2)解的適定性問題；(3)經典Molodensky問題新解法(4)非經典Molodensky問題。下面簡要介紹和評述在這些方向上取得有代表性和重要影響的成果。
丹麥學者Krarup(1973)首次給出了線性化Molodensky問題邊值條件的精確數學形式。在此之前，線性化取簡單球近似，和Stokes問題邊值條件形式相同，其中導數取球向徑方向或參考橢球法線方向。Krarup證明了嚴格的導數方向是正常場等天頂線方向，理論上歸結為線性化斜嚮導數問題，這是他的主要貢獻。由於方程中不僅包含了重力異常項，還包含了異常位，使之更具一般化。其意義在於可據此選擇最合適(產生最小線性化偏差)的投影定義近似地形面。斜嚮導數問題的提出，為全球重力場逼近的橢球改正提供了理論依據。
德國學者Heck(1988)詳細研究了Molodensky問題的二次逼近，分析估算了Taylor展開的二次項，證明了這一項可達到線性項同一量級，同時證明了線性化偏差與採用的近似地形面投影類型強相關。他具體揭示了粗糙化影響造成數值疊代過程的不穩定性。他比較了Marussi、Molodensky和Hirvonen三類定義近似地形面的投影，結論是後兩種投影比前者產生的線性化偏差小得多。為降低粗糙化影響，他建議必須採用高階位模型和進行地形均衡改正平滑數據。Heck的工作進一步完善了線性化的理論和套用。
Molodensky問題在數學上有兩個主要難點：第一個難點在於它本身是一個高度非線性的自由邊界問題，其解歸結為在調和函式空間求解一個非線性超反函式問題以確定未知邊界面和外部引力位函式。所謂超反函式是屬於Banach空間的原函式的Frechet導數可能不存在有界逆，但反函式可以存在。這是一個十分困難的反函式問題。第二個難點是處理所謂“粗糙化”影響存在的困難，這一情況首先反映在Molodensky級數的高次項隨著項數大於2開始變得愈來愈粗糙，可以出現絕對值很大的正負項，這是連續使用起微分作用的運算元擴展高次項產生的粗糙化；在非線性問題的疊代解中，每一步的線性化的Frechet導數在Banach空間中可能不存在有界逆，也是微分的粗糙化影響，導數幾乎總不如原函式光滑，使得疊代過程就在放大；邊值函式(數據)同樣存在粗糙化問題，即函式的非正則性。第一個難點是問題定義本身決定的；第二個難點本質上來源於近似地形面(或地球自然表面)以及場源物質分布的粗糙化，是研究的客觀對象本身所固有的。這些難點在理論上給問題的適定性證明帶來了困難，在方法上也使解算過程複雜化。
Hormander(1976)第一次給出了Molodensky問題解的存在性與唯一性在數學上的精確結果，他同時研究了線性化和非線性化情況。證明線性化問題解的適定性的主要困難在於它是一個斜嚮導數問題，因為法嚮導數問題可以通過第二類Fredholm積分方程來定義，此時Fredholm互斥性(或稱二擇一性)成立，即齊次方程和對應非齊次方程解的存在和唯一性是互斥的。若齊次問題有個獨立解，則為了使對應非齊次問題有解，邊界值必須滿足n個獨立條件，且解包含n個自由參數。斜嚮導數問題則不同．它導致奇異積分方程，此時Molodensky積分方程不再是第二類Fredholm積分方程，Fredholm互斥性一般不再有效。但是，若斜嚮導數問題是正則的，即導數方向(等天頂線方向)在任何地方都不與邊界面相切，則Fredholm互斥性仍然有效。為此H0rmander修改了Molodensky問題的定義，增加了地球表面正則性假定，即在拓撲意義上地球表面是一個可微的與單位球—‘一對應的像，另在邊值條件方程自由項中增加了一個附加項。Hormander的貢獻在於他從數學上證明了即使對一般線性化Molodensky問題，邊界數據需要且只需要滿足三個獨立條件，使一階球函式消失，有唯一解。在證明非線性Motodensky問題的適定性中，Hormander成功地克服了前述兩個主要難點。過去已有的非線性運算元的隱函式定理用於大地測量情況時不能滿足定理的條件，Hormander的貢獻在於用數學的方法找到了適用於大地測量邊值問題的隱函式定理。他根據Nash在1956年提出的離散型的連續方法證明了一個極其困難的反函式定理，其中套用的疊代過程稱Nash—Hormander疊代法，取代了在該問題中不能使用的Newton疊代法，新方法的特點是每一步逼近“直線”都比較靠近“函式曲線”，這樣他就克服了第一個難點；同時他又在疊代的每一步引入一個正則化運算元控制Frechet導數的粗糙化影響。保證疊代的收斂，從而克服了第二個難點。證明過程作了必要的光滑化處理，採用了帶有指數的Holder條件以及相應的Holder範數。雖然這些過嚴的光滑性條件顯然不符合大地測量的實際，但Hormander定理對Molodensky問題的理論研究有重大意義。
