多變數廣義預測控制

多變數廣義預測控制（Multivariable generalized predictive control ）具有多個輸入量或輸出量的採用傳統的參數模型(如CARIMA模型)，參數的數目較少，對於過程參數慢時變的系統，易於線上估計參數的控制方法。

基本介紹

• 中文名：多變數廣義預測控制
• 外文名：Multivariable generalized predictive control 
• 涉及學科：信息科學
• 套用：自動化
• 特點1：多個輸入量或輸出量
• 特點2：參數的數目較少

背景

預測控制作為一種有效的控制算法，已被大量的仿真和實際套用所證實。以前學者們對單變數的廣義預測控制算法(CGPC)作了大量的研究，比如:單變數的MAC、DMC和GPC的算法，以及將單變數的廣義預測控制套用到實際過程。工業過程通常為複雜的多輸入多輸出(MIMO)過程，近十年來，許多學者對於線性多變數廣義預測控制進行了一些研究，並取得了一定的成果。如:關於基本的多變數單值廣義預測控制算法的介紹，以及關於多變數廣義預測控制和其解耦問題。廣義預測控制作為一種最佳化控制算法，其優點之一就是可以直接處理多變數過程的控制問題。

一種多變數廣義預測控制(MGPC)算法，它特有的隱式解耦功能可以有效地克服傳統分散控制、解禍控制的煩瑣和缺陷，並根據這個基本的算法提出一種將近似處理時滯的方法納入廣義預測控制的機制，可實現對各個通道的不同滯後時間的處理。由於廣義預測控制套用於實際工程時，其算法較複雜，需要調整的參數較多，且線上計算時間較長，增加實際工程套用的複雜度，也不易於滿足諸如電氣傳動這類快速系統的控制要求。

多變數控制

多變數控制（Multivariable control）是指對多變數系統實現的控制。多變數系統（multivariable systems）是指具有多個輸入量或輸出量的系統，又稱多輸入多輸出系統。

多變數控制系統必須要安裝許多調節器及運算器才能進行控制，僅在某些特殊的情況下使用。

歷來用模擬調節器進行控制時，除了對應一個控制變數選擇一個操作變數以外，也可控制多個獨立單環所組成的過程，從而對整個過程進行控制。但是生產過程在本質上是多變數系統，而且變數之間有種種影響。因此，在設計控制系統時，要儘可能避免互相影響。為了避免互相影響使控制性能變壞，對於有些即使本來需要控制的變數也寧可放棄而不控制。這樣就不可避免地要出現所謂“失控”現象。例如，在蒸餾塔的控制系統中，對塔頂或塔底的任何一個組成部分進行自動控制時，就可以發現還存在有不能進行自動控制的“失控”等現象。

近年來，在化工生產過程中，設備間的互相影響正在顯著增加。因此，一個操作變數會影響到許多控制變數。再有，一個控制變數也能支配受許多操作變數影響的，作為多變數系統的整個控制過程。想要在控制過程中消除影響，必須同時把許多變數綜合起來加以控制，這樣的控制方式，就是多變數控制。

在以前，多變數控制系統必須要安裝許多調節器及運算器才能進行控制，僅在某些特殊的情況下使用。但是，隨著DDC直接數字控制系統的普及，多變數控制系統實現起來也就更加經濟了。

簡介

具有一個以上輸入或一個以上輸出的系統，在那裡任一輸入的變動產生來自一個以上輸出的一個回響，叫做多變數系統。一般說來，會有m個輸入和l個輸出，如圖所示。如果了l=m，這系統叫做方形系統。

如果任一輸入的變動產生來自一個以上輸出的一個回響，那么這是由於系統中某種內部耦合或傳輸通路引起的，通常，當處理一個特定輸入時，一個特定的系統輸出端會比其他輸出端起更大的回響，其他輸出端對這個物入變動的回響叫做互動作用。

各個方面都出現多變數系統，例如電氣，機械和化學工程，經濟，醫學工程，管理系統和環境系統.(來自熱力學領域的)多變數系統的一個例子是汽車用雙軸式氣輪機.它有一組裝在功率鍋輪機進氣端的可變幾何形狀的噴嘴，如圖中的方框示意圖所示，這個系統具有燃料流量、功率渦輪機噴嘴角度兩個獨立輸入和必須控制的燃氣發生器速度、功率渦輪機進氣口溫度兩個輸出變數。操縱任何一個輸入都產生兩個輸出的變化。

優點

同單變數系統相比，多變數系統的控制複雜得多。

多變數系統（multivariable systems）是指具有多個輸入量或輸出量的系統，又稱多輸入多輸出系統。

在多變數控制系統中，被控對象、測量元件、控制器和執行元件都可能具有一個以上的輸入變數或一個以上的輸出變數。例如汽輪機的蒸汽壓力和轉速控制，石油化工生產中精餾塔的塔頂溫度和塔底溫度控制，渦輪螺旋槳發動機轉速和渦輪進氣溫度的控制等，都是多變數系統的控制問題。多變數系統不同於單變數系統，它的每個輸出量通常都同時受到幾個輸入量的控制和影響，這種現象稱為耦合或交叉影響。交叉影響的存在使多變數系統很可能成為一種條件穩定系統。例如，在調試或運行過程中若增益發生變化或某一元件（例如感測器）斷開或失靈，就可能導致不穩定。這是多變數系統特有的問題。在多變數控制系統的設計中，對於交叉影響的處理，常採用兩種方式：①通過引入適當的附加控制器，實現一個輸入只控制一個輸出，稱為解耦控制（見解耦控制問題）；②協調各個輸入和輸出間的關係，使耦合的存在有利於改善系統的控制性能，稱為協調控制。此外，也可採用其他形式的指標來設計多變數系統的控制器。（見線性系統理論）

優點:

1)集中控制便於維護

2)由表頭到單表頭降低數據誤差

多變數系統的結構特點如圖所示：

多變數系統的結構特點

廣義預測控制

廣義預測控制技術最初由Clarke和其合作者於1987年提出，它採用傳統的參數模型(如CARIMA模型)，參數的數目較少，對於過程參數慢時變的系統，易於線上估計參數。由於引入了不相等的預測水平和控制水平，具有預測模型、滾動最佳化和反饋校正三個基本特徵，呈現了優良的控制性能，被認為是具有代表性的預測控制算法之一，受到學術和工程界的廣泛關注。但是基本的廣義預測控制需要進行矩陣求逆運算，計算量很大，不適合要求快速回響的實時控制系統。

廣義預測控制(GPC)具有預測模型、滾動最佳化和反饋校正等基本特徵，呈現出優良的控制性能和魯棒性，已廣泛套用於工業過程控制。目前 GPC算法可分為間接算法和直接算法。

間接算法通過辨識被控對象的參數, 進行多步預測和線上滾動最佳化來設計控制律, 其缺點是需要求解逆矩陣。計算量很大。為此，在性能指標中引入下三角加權矩陣, 以避免矩陣求逆, 減少了計算量。根據待求逆矩陣中元素排列的特殊性進行矩陣分解, 並給出遞推求逆算法, 將計算量減少了 2/3。

直接算法則根據某種規律直接辨識控制器的參數, 避免了線上求逆。通過引入等價性能指標, 先採用最小二乘法辨識被控對象的參數得到廣義輸出, 然後再辨識控制器參數, 並給出一種隱式 GPC 算法。

算法的改進

採用其它數學預測模型的 GPC算法

通過不同的數學模型可從不同的角度研究系統的特性。 GPC最初是基於 CARIM A模型推導的，CARIM A模型固有的積分作用有助於消除系統的靜態偏差；許多學者將GPC推廣到其它的預測模型 ，如CARMA模型、狀態空間模型等等。套用預測模型推導了 GPC算法 在辨識之前先對數據進行特殊的濾波處理，以消除外界的突然干擾 ，並克服高速採樣頻率的作用。由於狀態空間有利於控制系統的穩定性分析，一些學者從狀態空間的角度研究了預測控制算法；將時域與頻域相結合 ，使系統在時域上有較大的穩定裕度 ，通過加權多步預測得出穩定裕度的定量結果 ，利用頻域特性擬合得出系統的降階模型 ，提出了適用於降階模型的多步預測控制算法；利用離散 Laguerre函式的性質建立對象的非結構模型 ，提出了一種非結構模型的廣義預測控制器；採用最佳化方法確定對象的近似特徵序列，提出了特徵結構下的預測控制算法和相應的閉環反饋結構；則利用誤差的歷史數據來建立誤差的預測模型，以誤差預測補充模型預測 ，給出了基於誤差預測修正的GPC算法.這些研究為我們從不同的角度研究和分析廣義預測控制系統創造了條件。

線上算法的改進

在實際套用中，由於被控對象的時變、非線性、外界干擾等因素的影響，對象的參數往往很難精確得到，因此在實施GPC算法時，需要線上估計控制對象的參數，用於設計控制器。由於GPC算法中控制增量的計算涉及到矩陣求逆，因而線上計算量相當大。一些學者針對這一問題進行了研究，來減少算法的計算量。在提出 GPC算法時，給出了遞推求解 Diophantine方程的方法；利用參數辨識的結果直接求解控制器，不用求解 Diophantine方程 ,減少了計算量；採用遞推的方法建立預測模型，避免了求解 Diophantine方程，且算法不受多項式穩定的限制；袁著祉老師提出的遞推廣義預測控制器中給出了逆矩陣的遞推算法，減少了計算量，同時該文還採用遞推平方根法取代最小二乘法估計參數，改善了估計精度；根據待求逆矩陣中元素排列的特殊性，給出了求解逆矩陣的遞推算法，進一步減少了計算量，其求逆計算量僅為通常的增廣矩陣法的 30 % ；還提出了在性能指標函式中引入特殊的下三角加權矩陣，避免求解逆矩陣的算法，但算法對加權下三角矩陣的選擇有一定的要求，提出了並行結構分解的算法，提高了線上計算效率。這些算法都是從減少計算量的角度來改進算法 ,以進一步滿足實時控制的需要。另一種節省線上計算時間的算法是並行算法。慕德俊等分別針對狀態空間模型和輸入輸出模型，採用遞推的方法 ，將 GPC化為解 Ric-cati方程 ,基於脈衝陣列結構，提出了參數辨識的並行方法，給出的 GPC並行算法的最小二乘估計中的計算可並行 ，計算中 i對 j 可並行，求解 Doiphantine方程中，E和 F的計算可並行；此外還有將辨識與控制分離的 GPC算法。.這些並行算法提高了 GPC的實時性，為 GPC的實際套用打下了理論基礎。

廣義預測極點配置控制算法

為了保證閉環系統的穩定性，1987年，Lelic和 Tarrop結合極點配置算法，提出了廣義極點配置自校正控制器 ，使閉環系統具有較好的控制性能；在性能指標函式中採用了加權係數，通過選擇適當的加權係數來使閉環系統的極點配置在預先指定的位置，來改善系統的性能；通過線上選擇加權項進行極點配置 ,避免 GPC的線上求逆；利用 GPC和極點配置，側重系統的跟蹤特性、自適應能力、降階建模和魯棒性，給出了廣義預測極點配置的實際套用例子。

穩定廣義預測控制算法

穩定廣義預測控制算法（Stable Generalized Predictive Control，SGPC）是由Kouvaritakis等提出的一種控制方法．該方法是針對廣義預測控制（GPC）算法缺乏穩定性保證而提出的一種改進算法。SGPC首先通過引入一種反饋控制結構，以此來簡化系統內部的某些關鍵變數之間的關係，然後通過最佳化目標函式找到參考時域內的最優參考信號序列，從而得到控制量的增量．該方法通過對未來參考信號的約束，間接實現了對未來系統輸出的約束，進而保證系統的穩定性。

與其它最優控制相結合的 GPC算法

各種傳統的控制方法以及最佳化控制都有其自身的優點，將這些算法與廣義預測控制相結合，揚長避短，有助於進一步改善控制系統的特性.由於傳統的 PID控制算法簡單，易於實現，至今仍在大量的控制過程中得到廣泛的套用。將PID算法與 GPC相結合的研究成果有採用了 PI型的性能指標的 PI型廣義預測控制算法、煉油裝置加熱爐出口溫度的 GPC-PID串級控制算法等；將神經網路、 PID和 GPC有機地結合在一起 ，提出了基於 BP網路的PID型預測控制器。神經網路在並行計算和處理非線性系統方面有其獨特的優越性。將神經網路用於 GPC的研究成果有利用 Tank-Hopfield網路處理 GPC矩陣求逆的算法、基於神經網路誤差修正的GPC算法、利用小腦模型進行提前計算的 GPC算法、基於 GPC的對角遞歸神經網路控制方法以及用神經網路處理約束情形的預測控制算法等。

控制系統的分析

目前 GPC算法的穩定性和魯棒性分析大多依賴於計算機仿真和實際控制其理論分析還相當缺乏，這是由於 GPC引入了多步預測和柔化作用以及 GPC算法本身的特殊性，使廣義預測控制系統的分析相當複雜。目前的分析結果都是在一定的條件下得出的。

穩定性分析

當預測模型沒有建模誤差時， Clarke等人從狀態空間的角度對 GPC的穩定性進行了分析，認為當開環系統能穩可測時，通過選擇適當的參數，可以使閉環系統在有限時域內穩定，並產生穩定的狀態最小拍控制；當預測長度趨近無窮大時，閉環系統穩定，但算法的計算量將隨預測長度的增加而呈指數倍增長，這就要求預測長度在適當的範圍之內，因此在一般情形下， GPC算法並不一定能保證系統的閉環穩定性。針對這個問題，眾多學者進行了大量的研究，有些學者通過對算法的改進來保證系統的閉環穩定性，如上節中提到的各種穩定的廣義預測控制算法；還有一些學者則直接從理論上來分析 GPC的穩定性，這些分析主要有兩類：基於內模控制原理和狀態空間分析。

基於內模控制原理

採用內模控制原理分析 GPC的穩定性以席裕庚等人為代表。將 GPC結構轉換為內模結構，推導了控制器的表達式，認為 GPC系統的動態特性取決於控制器多項式的極點，GPC算法不改變系統的純滯後或非最小相位特性；且當閉環系統穩定時， GPC可有效地抑制確定性的干擾；GPC最優控制的可解性，研究了系統閉環特性與設計參數的關係；給出了選擇設計參數使 GPC閉環系統具有最小拍性質的結論，即在 p個周期後，系統的脈衝回響為 0，使系統 p拍後達到穩定；此外，席裕庚等人還分析了閉環系統的性質，討論了閉環系統的階次；並給出了根據階躍回響來保證系統閉環穩定的參數設計條件。

狀態空間分析

狀態空間描述比較有利於系統的穩定性分析，在噪聲強度不大和無結構型建模誤差的條件下，GPC是一種性能優良、閉環穩定的算法，適用於階次上界已知的對象，適用於時滯未知但上界已知的對象，適用於非最小相位系統，適用於能穩能測的開環不穩定系統，具有良好的跟蹤和穩態性能，能抑制確定性干擾，優於極點配置、 LQG、廣義最小方差控制器等算法；分析表明，若開環系統穩定，預測模型無偏差，則當預測長度足夠大時，閉環系統穩定；分析了輸入輸出受限時的穩定性，給出了閉環穩定的條件；GPC增加的極點在 Z平面的原點上，在預測長度相同時，系統的穩定性與時滯無關；廣義預測控制系統的狀態空間結構，指出其實質是一種狀態反饋，通過選擇適當的控制器參數可以保證系統的閉環穩定性，指出閉環系統與開環系統有相同的階次，它不改變系統的零點，但有助於克服純滯後對系統閉環特性的影響；當系統時滯已知時，選擇控制量加權係數為 0可保證最小相位系統閉環穩定，若參數攝動不改變系統的最小相位特性，則閉環系統魯棒穩定。

魯棒性分析

魯棒性是系統存在建模誤差或攝動時的穩定性，目前對 GPC的魯棒性分析成果包括最優性和穩定性的魯棒性分析，有離散域和頻域的。 Clarke對 GPC的魯棒性作了簡單的分析，但沒有涉及到任意預測長度下的魯棒性問題；GPC的強魯棒性源於對系統建模誤差的預測功能，認為若預測精度較高，預測時域長，則可改善 GPC的最優魯棒性；同時GPC的穩定魯棒性較經典的最優控制有了提高，它改善了系統的信噪比；採用輸入輸出模型，給出了保證 GPC魯棒性的必要條件，認為噪聲多項式是改善魯棒性的重要因素；噪聲濾波器對系統魯棒性的影響，認為當模型無失配時，系統的穩定性與噪聲多項式無關，當模型失配時，可通過選擇噪聲濾波器來改善系統的魯棒性；對具有干擾、飽和輸入和非線性未建模動態的系統進行了綜合設計，給出了輸入輸出魯棒穩定的充分條件減少反饋通道的增益有助於提高魯棒性；根據小增益定理，從頻域分析了系統的魯棒性，給出了閉環系統魯棒穩定的條件。