外爾斯特拉斯基本因式

外爾斯特拉斯基本因式，即魏爾斯特拉斯函式，在數學中，魏爾斯特拉斯函式（英語：Weierstrass function）是一類處處連續而處處不可導的實值函式。魏爾斯特拉斯函式是一種無法用筆畫出任何一部分的函式，因為每一點的導數都不存在，畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫。魏爾斯特拉斯函式的每一點的斜率也是不存在的。魏爾斯特拉斯函式得名於十九世紀的德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ; 1815–1897）。

基本介紹

• 中文名：外爾斯特拉斯基本因式
• 外文名：Weierstrass function
• 別稱：魏爾斯特拉斯函式

簡介

在數學中，魏爾斯特拉斯函式（英語：Weierstrass function）是一類處處連續而處處不可導的實值函式。魏爾斯特拉斯函式是一種無法用筆畫出任何一部分的函式，因為每一點的導數都不存在，畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫。魏爾斯特拉斯函式的每一點的斜率也是不存在的。魏爾斯特拉斯函式得名於十九世紀的德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass; 1815–1897）。

歷史上，魏爾斯特拉斯函式是一個著名的數學反例。魏爾斯特拉斯之前，數學家們對函式的連續性認識並不深刻。許多數學家認為除了少數一些特殊的點以外，連續的函式曲線在每一點上總會有斜率。魏爾斯特拉斯函式的出現說明了所謂的“病態”函式的存在性，改變了當時數學家對連續函式的看法。

構造

魏爾斯特拉斯的原作中給出的構造是：

其中，為正的奇數，使得：

這個函式以及它處處連續而又處處不可導的證明首次出現在魏爾斯特拉斯於1872年7月18日在普魯士科學院出版的一篇論文中。

證明這個函式處處連續並不困難。由於無窮級數的每一個函式項的絕對值都小於常數，而正項級數是收斂的。由比較審斂法可以知道原級數一致收斂。因此，由於每一個函式項都是上的連續函式，級數和也是上的連續函式。

下面證明函式處處不可導：對一個給定的點，證明的思路是找出趨於的兩組不同的數列和，使得

這與函式可導的定義矛盾，於是證明完畢。

一般人會直覺上認為連續的函式必然是近乎可導的。即使不可導，所謂不可導的點也必然只占整體的一小部分。根據魏爾斯特拉斯在他的論文中所描述，早期的許多數學家，包括高斯，都曾經假定連續函式不可導的部分是有限或可數的。這可能是因為直觀上想像一個連續但在不可數個點上不可導的函式是很困難的事。當我們繪製函式的圖像時，總會畫出較為規則的圖形，例如滿足利普希茨條件的函式圖像。

魏爾斯特拉斯函式可以被視為第一個分形函式，儘管這個名詞當時還不存在。將魏爾斯特拉斯函式在任一點放大，所得到的局部圖都和整體圖形相似。因此，無論如何放大，函式圖像都不會顯得更加光滑，也不存在單調的區間。

處處不可導函式的稠密性

分析學的成果表明，魏爾斯特拉斯函式並不是連續函式中的少數幾個特例之一。儘管它是“病態”函式的一種，但可以證明，這種病態的函式事實上不在“少數”，甚至比那些“規則”的函式“多得多”。

• 在拓撲學意義上：在從[0,1]區間射到實數上的連續函式空間C([0,1];R)中，處處不可導的函式的集合是稠密的（關於一致範數的拓撲）。
  
• 在測度論意義上：在配備了經典維納測度γ的連續函式空間C([0,1];R)中，至少有一處可導的函式所構成的集合的測度是0，也就是說和處處不可導的函式相比是可以“忽略”的。