單葉函式論亦稱幾何函式論，是單複變函數論的一個重要分支。單葉函式指定義在平面區域上且函式值與自變數一一對應的亞純函式。
基本介紹
- 中文名：單葉函式論
- 外文名：theory of univalent function
- 適用範圍：數理科學
發展,內容,
發展
黎曼（Riemann.（G.F.）B.）在1851年的學位論文中指出的映射定理，即“邊界點不只一個的單連通區域共形等價於單位圓盤”，成為單葉函式理論的奠基石。
20世紀初，在對單位圓盤內滿足規範條件f(0)=f'(0)-1=0的單葉解析函式類（S類）以及單位圓外以∞為單極點且留數為1的單葉函式類（∑類）的研究中，格朗沃爾面積定理、克貝1/4定理、克貝偏差定理等顯示單葉函式研究的序幕。
1916年，比伯巴赫（Bieberbach,L.）提出一個著名猜測：S類函式的冪級數展開式係數滿足|an|≤n,n=2,3,...，且僅對於克貝函式
及其旋轉等號成立，它是那樣簡單而精美，它始終是單葉函式研究的中心課題之一，也是最著名的數學難題之一，在半個多世紀中它吸引著眾多數學家的努力，產生了研究單葉函式的許多方法和相關論題。
例如，1923年，勒夫納（Loewner,C.）引入參數表示法；
1940年前後，席費爾（Schiffer,M.M.）與戈盧津創立的變分法；
1939年，格隆斯基（Grunsky,H.）給出以其名字命名的重要不等式；
1936年，羅伯森（Robertson,M.S.）提出下面的猜測：對於S類中的單葉奇函式，有
由S類函式的平方根變換，羅伯森猜想蘊涵比伯巴赫猜想；
1971年，米林猜測：若f∈S且
，則
基於列別傑夫-米林的一個不等式，米林猜想蘊涵羅伯森猜想，從而也蘊涵比伯巴赫猜想。
內容
單葉函式的種種泛函極值問題也是單葉函式研究的重要內容，並取得了一系列進展。
例如，1974年，伯恩施坦（Bernstein IA.R.）利用他所創立的一種對稱化方法證明了：對於f∈S，0<r<1，0<p<+∞，有
，其中k(z)是克貝函式。
