哈納克不等式

哈納克不等式(Harnack inequality)是調和函式的重要性質，是指非負調和函式在圓周上的值與其在圓心的值之比的雙向不等式，哈納克不等式引出了一個強大而簡單的定理，稱為哈納克原理。

基本介紹

• 中文名：哈納克不等式
• 外文名：Harnack inequality
• 所屬學科：數學
• 相關概念：調和函式、哈納克原理等

定義

設 是區域Ω中一個非負調和函式，則對Ω的任一緊子集Ω′，存在一個只依賴於n，Ω′和Ω的常數C，使得

特別地，如果 在以原點為中心，R為半徑的球 中是一個非負調和函式，那么哈納克不等式有如下形式：

哈納克原理

泊松公式使我們可以將一個調和函式用它在一個圓周上的值來表示，為了適應需要，我們把它寫成形式

其中而假定在中調和(或對調和，對連續)。聯繫初等不等式

的右端，公式(1)給出估計

如果已知，那么也可用(2)的第一個不等式，得到一個雙重估計

但的算術平均等於，於是最後得到下面的上界與下界:

這是哈納克不等式，我們要著重指出，它僅對正的調和函式為真。（3）的主要套用是用於正項級數，或等價地，用於調和函式的增序列。它引出一個強大而簡單的定理，稱為哈納克原理。

哈納克原理：考察函式 的一個序列，其中每個函式定義在某一城 內，且在該域內調和。設 為這樣的一個域，它的每一點具有一個鄰域包含於除有窮個以外的所有 中，並設在這一鄰域中，當n足夠大時，有 。那么這裡只有兩種可能：或者是 在 的每個緊緻子集上一致地趨於 ，或者是 在緊緻集上一致收斂於 內的一個調和極限函式 。

最簡單的情形是函式 在 內均為調和，並組成一個非降序列。不過，有很多套用說明這種情形不夠普遍。

為了證明這一定理，先設至少對於一點 。根據假設，可以找到一個r和m，使得對於 及 ，函式 都是調和的，並組成一個非降序列，如果將不等式（3）的左邊套用於非負函式 ，則知 將在圓盤 中一致地趨於 ，另一方面，如果 ，套用不等式的右邊同樣可證明 在 上有界。因此，在其上 分別為有窮及無窮的兩個集都是開集，而由於 是連通的，故必有一個集是空集。只要 的極限在單一點上是無窮大，則它必恆等於無窮大。至於一致性，可用海涅一博雷爾引理來證明。

在相反的情形，極限函式 是到處均為有窮的，我們只要證明其收斂是一致的即可。套用上面的同樣記法，對於 及 ，有 ，因此，在 點收斂就意味著在 的一個鄰域中一致收斂，再套用海涅-博雷爾引理可知在每個緊緻集上收斂是一致的。至於極限函式的調和性，則可從 能用泊松公式來表示這一點而得證。

設E是包含於域中的一個緊緻集，證明，存在一個只依賴於E及的常數M，使得中的每個正調和函式，對於任意兩點，滿足不等式。