同餘子群問題

同餘子群問題(congruence subgroup problem)是算術群理論中的一個重要問題。同餘子群問題在代數K理論的發展中是一個強大的動力，與K₁(R，A)的計算有十分密切的聯繫。

基本介紹

• 中文名：同餘子群問題
• 外文名：congruence subgroup problem
• 領域：數學
• 理論：算術群理論
• 群：運算元群
• 學科：代數學

概念

同餘子群問題(congruence subgroup problem)是算術群理論中的一個重要問題。同餘子群問題在代數K理論的發展中是一個強大的動力，與K₁(R，A)的計算有十分密切的聯繫。設R為環，A為R的理想，環同態π：R→R/A≡S誘導出兩個群同態：

它們的核GLn(R，A)≡ker GLn(π)與En(R，A)≡ker En(π)都稱為GLn(R)的同餘子群。所謂同餘子群問題，即：在一個算術群(李群中帶有算術性質的一類離散子群，如有限群、有限生成阿貝爾群、無撓的有限生成冪零群、有限生成的非交換自由群等都是算術群，當R為一個數域中的整元素環時SLn(R)也是算術群)中是否每一個有限指數的子群都含一個同餘子群?於是，對充分大的n，

對R的一切理想A，計算K₁(R，A)相當於確定GL(R)的一切正規子群。

運算元群

亦稱帶算群或稱Ω群。比群更廣且有重要運用價值的群類。群G到G的一個映射α：gg稱為G的一個運算元，若對於任意的x，y∈G，均有(xy)=xy。G的一個運算元就是G的一個自同態。G的某些運算元做成的集合，稱為G的一個運算元集。運算元集常用Ω記。帶有運算元集的群稱為帶算群，或運算元群，或Ω群。設H是群G的子群，Ω是G的一個運算元集，若對任意的α∈Ω，h∈H，均有h∈H，則稱H是G的Ω容許子群(Ω不變子群)。當Ω是G的全體內自同構所成之集時，G的Ω容許子群就是G的正規子群；當Ω是G的全體自同構所成之集時，G的Ω容許子群就是G的特徵子群。運算元群的理論與一般群的理論是平行的，群的一般理論都可以推廣到運算元群上去，且取定適當的運算元集，有時還可以提高對群本身的研究效果。而一般的群可以看成運算元集為空集的群。

群

一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G；

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c)；

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群；時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

代數K理論

代數學的一個分支。產生於20世紀初期，在最近40年內得到蓬勃發展。最初，人們企圖推廣線性代數中的某些部分，例如將維數理論推廣到一般環的模上，而發展出由環範疇到阿貝爾群範疇的一系列函子K₀，K₁，K_2，…。研究這些函子的理論被稱為代數K理論。

代數K理論在幾何學領域有兩個不同的起源。第一個是與拓撲學中的困難問題相關的。起點是引進懷特海撓率，這項工作始於20世紀40年代。另一個起源與拓撲K理論一樣，也是開始於格羅唐迪克在1957年給出的廣義黎曼—羅赫定理的證明。美國數學家巴斯1964年研究格羅唐迪克引用的K群的構造，由此開創了代數K理論的研究。其著作《代數K理論》(1968)的問世標誌著代數學的這個新分支的誕生。巴斯引進了K₁，並與他人合作廣泛地研究K₀和K₁。K₂是米爾諾引進的，而高階K理論是由奎倫和其他人從各種不同觀點構造的。奎倫首先解決了代數K理論中的亞當斯猜想(1970)，之後又得到K理論中塞爾猜想的證明(1976)，並開始將代數歸結為拓撲，形成代數K理論的基礎。代數K理論產生之後，立即套用於環論、同調代數、範疇論與線性群的理論。

同態

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射.f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。

設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態。這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。