同一原理

同一原理

同一原理(principle of identity)亦稱同一法則,是相對同一概念而顯現的一種關係。一個命題的條件和結論都惟一存在,它們所指的概念是同一概念時,這個命題與其逆命題等效,同一原理是同一法的根據,根據這一原理,對於符契約一原理的命題,就可通過證明其逆命題來確定原命題成立。

基本介紹

  • 中文名:同一原理
  • 外文名:principle of identity
  • 別稱:同一法則
  • 所屬學科:邏輯學
  • 簡介:相對同一概念而顯現的一種關係
基本介紹,同一原理的套用,

基本介紹

如果命題的條件和結論所含的事項都是唯一的(指事件本身唯一,而不是指事件的個數唯一),或它們的範圍一樣,那么這個命題的逆命題必然成立。這個法則叫做同一原理或同一法則。
例如:“中華人民共和國的首都是北京”。這個命題中,“中華人民共和國”是唯一的,“首都北京”也是唯一的,因此,它的逆命題“北京是中華人民共和國的首都”也是成立的。
然而,在命題“上海是工業城市”中,條件中的“上海”是唯一的,但結論中的“工業城市”卻不是唯一的,也就是“上海”和“工業城市”的範圍不一樣,因此,它的逆命題“工業城市是上海”就不成立。

同一原理的套用

同一原理與同一法
一個命題,如果它的題設和結論所指的事物都是唯一的,那么原命題和它的逆命題中,只要有一個成立,另一個就一定成立,這個道理叫做同一原理或同一法則。在符契約一法則的前提下,代替證明原命題而改證它的逆命題成立的一種方法叫做同一法。在用同一法證題時,圖形常常故意畫成不正確的.要證“某形有某特性”,在某形和某特性都是獨一無二的情況下,轉而去證“有某特性的是某形”.同一法證題的步驟是:另作符合結論的圖形,證明該圖形與已知條件符合,由同一法則得所作圖形與題設的圖形重合,從而原命題得證。
同一法和反證法都是間接證法,但同一法不易掌握.可以利用同一法證明的題目,一般來說用反證法也行。
套用同一法的步驟:
(1) 判斷命題符契約一法則;
(2) 作出符合結論的圖形;
(3) 證明所作圖形與已知條件相合,從而可以推出所作圖形與已知圖形相合。
【例1】證明三角形兩邊中點連線平行於三角形的第三邊。
已知:△ABC中,D是AB中點,E是AC中點(如圖)。
圖1圖1
求證:DE∥BC。
證明:過D作BC的平行線交AC於E。
∵ AD=DB,∴ AE′ =E′C,即E′是AC的中點,但E是AC的中點,而一條線段的中點只有一個,因此,E′與E重合。
∴ DE′與DE重合。
由於DE′∥BC,∴ DE∥BC。
證明勾股定理的逆定理便可用同一法。
【例2】已知:如圖,△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且c2=a2+b2,求證:∠C=90°。
證明:作△A′ B′ C′,使∠C′=90°,C'A'=b,B′C′=a,由勾股定理,得A′B′2=a2+b2=c2,∴A′B′=c,因此△A′B′C′≌△ABC,∴∠C=∠C′=90°
這裡,條件AB=c,BC=a,CA=b,且c2=a2+b2是唯一的,都是確定的數,結論∠C=90°也是唯一確定的,而△A′B′C′可以唯一確定,並且△ABC≌△A′B′C′,即圖形重合,所以可以證明∠C=90°.
當一個命題及其逆命題都成立時,可用同一法,凡能夠用同一法證明的問題,都可以改用反證法證明,但能夠用反證法證明的問題,不一定能用同一法證明。
【例3】已知:如圖3,△ABC中,D、E是AB、AC的中點.求證:DE∥BC。
圖3圖3
證明:假設DE不平行BC。過D作DE∥BC,交AC於E′。
∵DE′∥BC,AD=BD,
∴AE′=CE′.又∵AE=AE,
∴E點E′重合,
∴DE∥BC。

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