《各向異性Navier-Stokes和MHD方程邊值問題整體正則性》是依託華僑大學，由於海波擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：各向異性Navier-Stokes和MHD方程邊值問題整體正則性
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：于海波
- 依託單位：華僑大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目旨在各向異性的條件下，研究非可壓Navier-Stokes和磁流體方程在高維有界域上解的整體正則性。基於在物理、工程、氣象等眾多領域的深刻背景，Navier-Stokes和磁流體方程的研究廣受關注。在某些部分耗散或磁擴散的條件下，利用無窮遠場的穩定性，Navier-Stokes和MHD方程Cauchy問題整體解存在唯一性的研究取得了一定進展。但是由於邊界層的出現和技術手段的限制，相關邊值問題類似結果的證明遇到了困難。為了推進Navier-Stokes和磁流體方程的研究進展，申請人希望在邊界層比較“弱”的情況下，通過新的技術得到某些邊值問題整體正則性結果。 本項目將考慮Naiver-slip邊值問題，在有界域上建立速度場和磁場一階導數滿足的橢圓系統，進而研究解的整體正則性。對於磁流體方程，部分耗散和磁擴散發生在相同或不同方向有一定區別，本項目將研究這兩種情況對磁流體整體解的不同影響。
結題摘要
不可壓Naiver-Stoke方程一般初值整體光滑解的研究異常困難。然而當Navier-Stokes方程與磁擴散方程耦合後，磁方程會對速度場的整體正則性起到一定作用。首先對於2維Cauchy問題，在耗散係數與磁擴散係數各項異性的情況下，速度場和磁場強解均整體存在。其次，對於維數為3 的全空間情形，當磁場和速度場的初值之間差別比較小時，速度場和磁場的強解也是整體存在的。目前這方面的研究成果主要集中在全空間的情形，因此在有界域上開展此類問題的研究具有一定的理論意義。本項目研究具有較“弱”邊界層Navier-slip邊值，證明了MHD方程整體強解的存在唯一性。通過建立速度場和磁場導數滿足的橢圓方程，利用經典的L^p估計、先驗假設、齊次Sobolev空間等工具將上述Cauchy問題的結論推廣到了有界域的情形。具體地說，在2維方形域上，得到具有Naiver-slip邊值問題各項異性MHD方程整體光滑解；對3維任意光滑區域，在與Cauchy 問題類似的初始條件下，我們得到具有Naiver-slip邊值問題MHD方程大初值整體光滑解。
