可數集選擇公理(the axiom of choice for denu- merable sets)簡稱AC，選擇公理的一種減弱形式。
基本介紹
- 中文名：可數集選擇公理
- 外文名：the axiom of choice for denu- merable sets
設了是可數集(鄉的元素是任意非空集)，則此類厭上存在選擇函式，此即為可數集選擇公理. 若考慮厭是有限集的情形，則在ZF系統中可證，上存在選擇函式.對之稍作加強，就成為可數集選擇公理.此公理弱於選擇公理AC，且AC。不蘊涵 AC，但在ZF系統中不可證明AC,.人們甚至已經證明，當可數集鄉中的元素是實數的無窮集時(美國數學家科恩(Cohen,P.J.),1963)，或是實數集合的二元集時(美國數學家費弗曼(Fefferman , C. ) , 1965),AC。仍在ZF系統中不可證明.雖然如此，這種弱形式的選擇公理卻較易於為反對者所接受.其間並沒有什麼邏輯上的理由，完全是人們的一種感覺.
在許多使用選擇公理的場合，尤其是在分析等學科中，實際上只需使用可數集選擇公理就足夠了. 例如，假定可數集選擇公理成立，則可證:可數個可數集合之並仍是可數集合(這一事實廣泛地套用於實分析和測度論中);每個無窮集合必包含一可數子集，亦即每個戴德金有限集是有限集;。:是正則序數.在描述集合論中，可數集選擇公理是必不可少的，同時，在許多情況下，可數集選擇公理也就足夠了.
