古爾亭定理

古爾丁定理，又稱帕普斯幾何中心定理。它最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀保羅·高爾丁又重新發現了這個定理。

基本介紹

• 中文名：古爾亭定理
• 別稱：帕普斯幾何中心定理
• 最初發現者：古希臘的帕普斯
• 發現發現者：保羅·高爾丁

定義

以平面圖形繞同一平面上的任何一條與該圖形不相交的直線旋轉一周所產生的體積，等於圖形的面積乘以其重心相應半徑所畫的圓周長。

表面積

有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積A，等於曲線的長度s乘以曲線的幾何中心經過的距離。

例：設環面圓管半徑為r，圓管中心到環面中心距離為R，把環面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心。所以環面表面積為

若有平面連續曲線，求x在[a,b]時，曲線以x軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線，其幾何中心便是y，曲線長度為，因此這個曲面的表面積便是：

體積

由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積V，等於平面形狀面積S乘以平面形狀的幾何中心經過的距離的積：

再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉體體積：