基本介紹
- 中文名：反演法作圖
- 外文名：construction by inversion trans-formation
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何（尺規作圖）
- 簡介：利用反演變換的性質解作圖題
基本介紹,例題分析,
基本介紹
對一些作圖題，可藉助反演變換的性質發現作圖途徑，將比較複雜的問題轉化為已知的或簡單的問題，從而得出作圖方法。
圖1
例如，過⊙O和⊙O′的交點A，求作割線BAC，分別割兩圓於點B，C，使AB與AC的乘積的絕對值等於k。本題的思路要點是：假設割線BAC已作出，由AB·AC=k知，點C必在⊙O的反演圖上，同時點C又在⊙O′上，以點A為⊙O的反演中心，則⊙O的反演圖為垂直於OA的直線，且AI·AM=k，點I就可以確定了。自點I作AI的垂直線(就是⊙O的反演圓)，交⊙O′於點C，CAB即為所求(如圖1)。本題通常有兩解，即BAC和B′AC′，k有它的最大限，當⊙O的反演圖與⊙O′相切時(圖中ED位置)，則AI達到它的極大值AE，從而有AM·AE=k，這時本題只有一解DAF，若k>AM·AE，則⊙O的反演圖與⊙O′不相交，本例無解。
例題分析
【例1】求作一圓，使它通過一已知點且切於兩已知圓。
已知 點P及圓O1，圓O2。
求作 圓O，使圓O過點P且與圓O1，圓O2相切。
分析 假定圓O已作出，它過點P，且與圓O1，圓O2相切於點T1，T2(如圖2)，如果以P為反演中心，點P到圓O1的圓冪為反演冪進行反演變換
，則
圓O1→圓O'1，圓O2→圓O'2，T1→T'1，T2→T'2，圓O→T'1T'2。
由保角性知道，T'1T'2與圓O1，圓O'2相切，於是，原作圖題轉變為作圓O2的反形圓O'2及圓O1，圓O'2的公切線。
圖2
作法 (1)以P為反演極，點P關於圓O1的圓冪(圖2中的PT)為反演冪作圓O2的反形圓O'2。
(2)作圓O1與圓O'2的公切線，設切點分別為T'1，T'2。
(3)連PT'1，PT'2，分別交圓O1，圓O2於點T1，T2。
(4)過點P，T1，T2作圓O。
則圓O為所求。
證明 略。
討論 由圓O1，與圓O'2有無公切線，以及公切線的條數分析，本題至多有四解。
用反演法作圖，關鍵在於反演中心與反演冪的選取，為了使作圖簡便，反演冪常常取為反演中心對某個圓的圓冪，在這種情況下，該圓的反形就是自身。
【例2】過一已知點作一圓，使之切於一已知圓且正交於另一已知圓。
已知 點P，圓O1，圓O2。
求作 圓O，使之過點P，與圓O1相切且與圓O2正交。
圖3
分析 設圓O過點 P，與圓O1相切於點A，與圓O2正交，交點為B,C(如圖3)，那么，不妨以點P為反演中心，點P到圓O2的圓冪為反演冪施行反演變換，於是
圓O1→圓O'1，圓O2→圓O'2，
A→A'，B→B'，C→C',
圓O→直線A'B'C'
由保角性知，直線A'B'C'與圓O'1相切於點A'，且過圓O2的圓心。這樣，原作圖題轉化為作出圓O1的反形圓O'1以及過點O2作圓O'1的切線。
作法 (1)以點P為反演中心，點P到圓O2的圓冪為反演冪，作出圓O1的反形圓O'1。
(2)過點O2作圓O'1的切線，設此切線交圓O2於點B'，C' ，與圓O'1切於點A'。
(3)連PA'，PB'，設分別與圓O1，圓O2交於點A，B。
(4)過點P，A，B作圓O。
則圓O為所求作的圖形。
證明與討論 略。
