半線性微分方程的數值理論及其套用

《半線性微分方程的數值理論及其套用》是依託哈爾濱工業大學，由趙景軍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：半線性微分方程的數值理論及其套用
• 依託單位：哈爾濱工業大學
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：趙景軍

項目摘要

本項目主要研究半線性微分方程的數值理論及其套用。半線性微分方程由一個線性項（通常為剛性）和一個非線性項組成，主要來源於空間離散化的演化方程，其數值方法的分析具有重要的套用價值。本項目擬在半線性整數階微分方程指數方法的基礎上構造帶有連續擴張的指數Runge-Kutta方法並分析其收斂性及穩定性，進一步擬給出此類方程指數方法的非線性數值穩定概念並根據數域及維數的不同分別給出指數方法非線性穩定的代數條件。此外，本項目擬針對半線性分數階微分方程構造一系列Mittag-Leffler（ML）積分方法，例如ML-Runge-Kutta方法、ML-Rosenbrock方法、ML-線性多步方法、ML-一般線性方法及多步ML-配置方法，進一步分析上述方法的快速計算、收斂性和穩定性。同時，通過數值算例驗證所得的結論。本項目的工作不但能夠豐富微分方程的數值理論，而且也可以為相關套用科學的發展提供有效的算法支持。

結題摘要

半線性微分方程主要來源於演化方程的空間離散化之後的常微分方程，因此其數值方法的研究具有重要的理論意義和套用價值。本項目主要研究半線性微分方程的數值理論及其套用。具體地，本項目分別研究了半線性微分方程疊加型Runge-Kutta方法、Magnus指數積分方法的格式構造、階條件和穩定性分析，延遲微分方程指數型數值方法、對稱Runge-Kutta方法、譜方法、邊值方法的收斂性和穩定性，分數階微分方程高階向後差分公式、配置方法、有限元方法的收斂性和數值穩定性，分數階微分方程簡化Tikhonov正則化方法、最優濾波方法的收斂性等問題。共發表SCI論文33篇，培養博士4名，碩士16名。本項目的研究成果不但能夠豐富微分方程的數值理論，而且也可以為相關套用科學的發展提供有效的算法支持。