半素理想

半素理想

半素理想(semiprime ideal)是與半素環密切相關的概念。環R的理想Q,若對R的任意理想A和某個自然數n,有A⊆Q,就恆有A⊆Q,則稱Q為R的半素理想。它等價於,對R中任意元素x,若xRx⊆Q,則x∈Q。

基本介紹

  • 中文名:半素理想
  • 外文名:semiprime ideal
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:環與代數(根論)
  • 相關概念:理想、半素環等
定義,相關概念及定理,

定義

是半環
的理想,若對於
的任意理想
,由
必推得
,則稱
半素理想

相關概念及定理

命題1設P是半環S的理想,則P是半素理想的充分必要條件是對任意理想A,由
必推得
,其中n為某個自然數。
定義2設M是半環S的一個子集,若對任意
,存在
使得
,稱M為S的一個n-系統。
命題3設P是半環S的理想,則P是半素的若且唯若
是S的一個n-系統。
定理4設P是半環S的理想,則下列等價:
1) P是半素理想;
2) 設
,若
,則
3)
必推得
,其中(a)為由a生成的主理想;
4)
必推得
,其中R是S的右理想;
5)
必推得
,其中L是S的左理想。
定義5設P是半環S的理想,若對任意
,由
必推得
,稱P為S的完全半素理想
易知,若P是半環S的完全半素理想,則由
必推得
定理6設P是半環S的素理想,則P是完全素理想的充分必要條件是P是完全半素理想。
推論7設S是交換半環,則S的素理想、完全素理想與完全半素理想三個概念是一致的。
定理8設N是半環S的理想,則
1) 若P是S的素理想,則
是N的素理想;
2) 若P是S的半素理想,則
是N的半素理想。
證明:1) 記
,則M是N的理想。設
,若
,則
,於是
,從而
,進而,
,得到
,推得
,這樣
,即M是N 的素理想。
2) 記
,設
,若
,則
,於是,
,得
,進而
,從而
,所以
,即
,故M是N的半素理想。
定義9若{0}是半環S的素(半素)理想,則稱S為素(半素)半環。
定理10設P是半環S的強理想,則下列等價:
1) P是素理想;
2)
是素半環;
3)
中任意兩個非零理想之積非零。
定理11設P是半環S的強理想,則下列等價:
1) P是半素理想;
2)
是半素半環;
3) 若
的非零理想,則
4)
不含非零冪零理想;
5)
不含非零冪零單側理想,即
有效半環
定理10、11中的
都是指S關於同餘的商半環,這兩個定理的證明只要注意到
的理想(單側理想)的形式是且只是形如
,其中
,且
,就不難了。

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