勒貝格有界收斂定理

在數學分析和測度論中，勒貝格有界收斂定理又叫勒貝格控制收斂定理，它提供了積分運算和極限運算可以交換運算順序的一個充分條件。在分析逐點收斂的函式數列的勒貝格積分時，積分號和逐點收斂的極限號並不總是可以交換的。

控制收斂定理說明了，如果逐點收斂的函式列的每一項都能被同一個勒貝格可積的函式“控制”（即對變數的任何取值，函式的絕對值都小於另一個函式），那么函式列的極限函式的勒貝格積分等於函式列中每個函式的勒貝格積分的極限。勒貝格控制收斂定理顯示出勒貝格積分相比於黎曼積分的優越性，在數學分析和實變函式論中有很大的套用。

基本介紹

• 中文名：勒貝格有界收斂定理
• 外文名：Dominated convergence theorem
• 別名：勒貝格控制收斂定理
• 學科：數學

定理敘述

設為一個測度空間， 是一個實值的可測函式列。如果逐點收斂於一個函式，並存在一個勒貝格可積的函式，使得對每個，任意，都有：

則：

也是勒貝格可積的，；

其中的函式一般取為正值函式。函式列的逐點收斂和的性質可以減弱為幾乎處處成立。

證明

勒貝格控制收斂定理是更廣泛的法圖-勒貝格定理（Fatou–Lebesgue theorem）的特例。以下是一個套用法圖引理的證明。

由於 是逐點收斂的極限，因此對其仍然有

（於是）。

同理，對任意的n有：

以及

根據法圖引理，可以得到：

因此，由勒貝格積分的線性性和單調性，就有：

而後者趨於0，於是定理得證。