加法定理

加法定理一個是指機率的加法定理，講的是互不相容事件或對立事件甚至任意事件的機率計算方面的公式；另一個是指三角函式的加法定理。

基本介紹

• 中文名：加法定理
• 外文名：addition theorem
• 所屬學科：數學
• 義項：機率加法定理、三角函式加法定理

機率的加法定理

互不相容事件的加法定理

定理1 兩個互不相容事件的並的機率等於這兩個事件的機率的和，即

證明: 我們就機率的古典定義來證明這個定理。設試驗的樣本空問共有N個等可能的基本事件，而隨機事件A包含其中的M₁個基本事件，隨機事件B包含其中的M₂個基本事件，由於事件A與事件B是互不相容，因而它們所包含的基本事件應該是完全不相同的，所以，事件A與事件B的和A+B所包含的基本事件共有M₁+M₂個，於是得到

這一定理不難推廣到有限多個互不相容事件的情形，因此有下面的定理。

定理2 有限個互不相容事件的和的機率等於這些事件的機率的和，即

由此可得下面的推論。

推論1 如果事件 構成互不相容的完備事件組，則這些事件的機率的和等於1，即

事實上．因為事件構成完備組，所以它們之中至少有一事件一定發生，即這些事件的和 是必然事件，所以

由此，根據定理2，即得。

特別的，對於僅由兩個互不相容事件構成的完備組，即這兩個事件是對立事件，我們有下面的推論。

推論2 對立事件的機率的和等於1，即

我們強調指出，上述機率加法定理僅適用於互不相容的事件，對於任意的兩個事件A與B，我們有下面的一般機率加法。

一般的機率加法定理

定理3 任意二事件的和的機率等於這二事件的機率的和減去這二事件的積的機率，即

證明: 事件AUB等於以下三個互不相容事件的和：

其中 表示事件A發生而B不發生， 表示事件B發生而A不發生，AB表示事件A與事件B都發生，因此，根據定理2，有

但是，事件A又等於互不相容事件AB與 的和，即

所以

由此得

同理可得

把最後兩式代入，即得

易見當事件A與事件B互不相容時，定理3公式就化為定理1公式，因為這時。

有限個事件情況

定理4 任意有限個事件的和的機率可按下面的公式計算

可用數學歸納法證明。

三角函式的加法定理

三角函式的加法定理斷言：兩個被加項的和(差)的三角函式可由被加項的三角函式的值用代數方法表示出來。

定理的證明由對應的諸公式的建立而得到。

可根據三角函式的坐標解釋或射影理論的基本原理證明，更多內容請查閱相應參考資料。

基本定理 對於 與 的任意值，加法定理成立，用公式表出如下：

對於餘弦

對於正弦