功率譜

功率譜是功率譜密度函式的簡稱，它定義為單位頻帶內的信號功率。它表示了信號功率隨著頻率的變化情況，即信號功率在頻域的分布狀況。功率譜表示了信號功率隨著頻率的變化關係。

常用於功率信號（區別於能量信號）的表述與分析，其曲線（即功率譜曲線）一般橫坐標為頻率，縱坐標為功率。周期性連續信號x(t)的頻譜可表示為離散的非周期序列Xn,它的幅度頻譜的平方│Xn│2所排成的序列，就被稱之為該周期信號的“功率譜”。

基本介紹

• 中文名：功率譜
• 外文名：power spectrum
• 別稱：功率譜密度
• 提出者：傅立葉 
• 提出時間：1822年
• 適用領域範圍：電子科學

基本簡介

傅立葉級數提出後，首先在人們觀測自然界中的周期現象時得到套用。19世紀末，Schuster提出用傅立葉級數的幅度平方作為函式中功率的度量，並將其命名為“周期圖”（periodogram）。這是經典譜估計的最早提法，這種提法至今仍然被沿用，只不過現在是用快速傅立葉變換（FFT）來計算離散傅立葉變換（DFT），用DFT的幅度平方作為信號中功率的度量。

周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。1927年，Yule提出用線性回歸方程來模擬一個時間序列。Yule的工作實際上成了現代譜估計中最重要的方法——參數模型法譜估計的基礎。

Walker利用Yule的分析方法研究了衰減正弦時間序列，得出Yule-Walker方程，可以說，Yule和Walker都是開拓自回歸模型的先鋒。

概念

由於功率沒有負值，所以功率譜曲線上的縱坐標也沒有負數值，功率譜曲線所覆蓋的面積在數值上等於信號的總功率（能量）。

定義

功率信號 在時間段 上的平均功率可以表示為

如果 在時間段 上可以用 表示，且, 的傅立葉變換為 ，其中 表示傅立葉變換。當 增加時， 以及 的能量增加。當 時 ，此時 可能趨近於一極限。假如此極限存在，則其平均功率亦可以在頻域表示，即

定義 為 的功率密度函式，或者簡稱為功率譜，其表達式如下。

性質

功率譜密度的常用性質為：

(1)功率譜密度函式 是實的；

(2)功率譜密度是非負的，即 ；

(3)功率譜密度的逆傅立葉變換是信號的自相關函式；

(4)功率譜密度對頻率的積分給出信號 的方差，即

上式中 表示求方差的算符， 表示求均值算符， 表示 的均值。

套用

功率譜密度定義給出了區別於時域的功率描述方法，常套用於統計信號處理，介紹兩個基本套用

（1）白噪聲與有色噪聲的定義。

若信號的功率譜 等於常數，即，則隨機過程 稱為白噪聲，反之則稱為有色噪聲。

（2）利用其與自相關函式的關係求信號的自相關函式。

周期運動

周期運動在功率譜中對應尖鋒，混沌的特徵是譜中出現"噪聲背景"和寬鋒。它是研究系統從分岔走向混沌的重要方法。 在很多實際問題中（尤其是對非線性電路的研究）常常只給出觀測到的離散的時間序列X1, X2, X3,...Xn,那么如何從這些時間序列中提取前述的四種吸引子（零維不動點、一維極限環、二維環面、奇怪吸引子）的不同狀態的信息呢？ 我們可以運用數學上已經嚴格證明的結論，即擬合。我們將N個採樣值加上周期條件Xn+i=Xi，則自關聯函式（即離散卷積）為 然後對Cj完成離散傅氏變換，計算傅氏係數。 Pk說明第k個頻率分量對Xi的貢獻，這就是功率譜的定義。當採用快速傅氏變換算法後，可直接由Xi作快速傅氏變換，得到係數 然後計算 ，由許多組{Xi}得一批{Pk'}，求平均後即趨近前面定義的功率譜Pk。 從功率譜上，四種吸引子是容易區分的，如圖12 (a)，(b)對應的是周期函式，功率譜是分離的離散譜 (c)對應的是準周期函式，各頻率中間的間隔分布不像(b)那樣有規律。 (d)圖是混沌的功率譜，表現為"噪聲背景"及寬鋒。 考慮到實際計算中，數據只能取有限個，譜也總以有限分辨度表示出來，從物理實驗和數值計算的角度看，一個周期十分長的解和一個混沌解是難於區分的，這也正是功率譜研究的主要弊端。