劉徽數學“割圓術”

《劉徽數學“割圓術”》是華中科技大學數學與統計學院教授、博士導師王能超研究劉徽“割圓術”的著作，於2016年由華中科技大學出版社出版。

基本介紹

• 書名：劉徽數學“割圓術”
• 作者：王能超
• 類別：數理科學
• 出版社：華中科技大學出版社
• 出版時間：2016年04月
• 定價：28 元
• 開本：1/32
• 裝幀：精裝
• ISBN：978-7-5680-1580-6

內容簡介

本書對“割圓術”進行了深入的研究，闡述了它所透射出的深邃的數學思想和玄妙的科學方法，論證了祖沖之求圓周率的算法源於“割圓術”，破解了數學史上這樁千年疑案，並以科學、嚴謹的論述向世人宣示：劉徽提出的“割圓術”是銜接高等數學的金橋，它的技術是會通科學計算的古道，它的思想是攀登未來數學的天梯。尤其是其中的數學外推技術，其改善精度的效果極其顯著，這在數據加工處理成為現代數學研究主旋律的數位化時代，其套用給人以無限遐想。

作者簡介

華中科技大學數學與統計學院教授，博士導師。北京大學計算數學專業畢業，復旦大學研究生畢業，師從谷超豪教授。曾任全國計算數學教學研究會理事長，湖北省計算數學學會理事長等。承擔國家“863”高技術項目、國家自然科學基金項目、國防科工委項目多項。發表學術論文50多篇，出版專著4本，教材3本，2本教材獲省部級優秀教材獎。

簡評

☆本書文筆優美，風格清峻，氣勢磅礴，著眼於“會通古今，熔鑄中外”，既介紹“國粹”知識，又探討治學方法和數學方法論，同時也對數學史上某些熱點疑難問題進行評說，能為廣大讀者所接受：中學生能增長知識，大學生能啟迪思維，相信數學工作者也會引起共鳴。

閱讀本書的感受是奇妙的，讀者不妨一試。

☆奇效的劉徽外推李大潛先生的評說

劉徽是我國歷史上一位值得大書特書的數學家，他在對《九章算術》的注述中關於圓面積的論述——割圓術，是一經典而意義深遠的數學文獻。祖沖之關於圓周率π的傑出成果在國際上遙遙領先一千多年，其算法雖失傳，但在其二百年前的劉徽在割圓術中已明確提出了算法的一般原則和技巧，並作了具體的計算，其貢獻應遠遠在祖沖之之上。但世人只知有“祖”不知有“劉”，顯然有失偏頗。本書突出了劉徽的功績，反映了歷史的本來面目，是值得稱道之一點。

割圓術篇幅不長，只1800字左右，但真正讀過的人不多，深入鑽研者尤少。本書作者用逐段解釋的方法對割圓術的內容作一介紹，簡明扼要，向世人解釋了這一歷史上的優秀文化遺產，重現了這一數學瑰寶的風采，是很有意義的工作，是值得稱道之二。

值得稱道之三是作者並未就事論事地進行注釋，而是從現代數學的觀點充分地闡明割圓術中所蘊含的豐富而深刻的數學思想，並據此對一些公認的疑點進行破譯，頗有創造性。特別對割圓術中關於加速技術的解釋，並聯繫到費根包姆常數，很有新意，但又非常貼合原著的精神，應視為本書最為精彩的篇章。閱讀此處，不由為劉徽的遠見卓識而讚嘆，並為作者獨具匠心的破譯之功而折服。

綜觀全書，文字清晰、優美，有很強的啟發性及可讀性。這是一部十分優秀的科學普及作品，深信廣大讀者將會為之受益。

☆中 國 科 學 院 院 士

復旦大學數學系教授

2001年3月28日林群先生的評說

此書深刻地挖掘和分析了劉徽在割圓術上的開創性的貢獻，非常有趣地指出他的割圓術與近代的外推係數只差1/105。計算結果表明只要用96與192邊形的結果相組合，便可得到普通方法要用3072邊形才能達到的精度。這在當時是驚人的結果!

我認為王教授的發現是數學史上的重大事件。此外，此書寫得生動活潑，包含了其他鼓舞人心的歷史，對任何人都會受益。因此，我毫無保留地給予崇高的評價。

☆中國科學院院士

中科院數學與系統科學研究院研究員

2001年8月20日張景中先生的評說

本書深入淺出地對劉徽的“割圓術”這一千古奇文進行闡述和研究。一方面研究了數學史上的疑問，另一方面向讀者介紹了數學的思想與方法。古今中外縱橫暢敘，文筆優美，氣勢磅礴，是不可多得的優秀科普作品。

☆中國科學院院士

中科院成都計算機套用研究所研究員

2002年5月18日楊叔子先生的評說

王能超教授的著作，向讀者通俗易懂地介紹了我國古代數學史上經典文獻“割圓術”，並非常精彩地闡述了它對現代科技乃至未來科學的啟迪意義，尤其富有創造性的是，基於對“割圓術”深邃思想的理解，探究了我國南北朝數學家祖沖之獲得千年稱雄世界的圓周率結果的算法這一千古疑案，顯示了作者獨具匠心。

通觀全書，本書具有如下特點：

一是探討了我國古代科技文獻中所蘊含的寶貴財富。這是現有科普作品中鮮見的，它對於弘揚中國傳統文化，繼承中華優秀文化遺產具有重要意義。

二是作者旁徵博引，談古論今，熔鑄中外，既談學術，談治學，談方法，也說歷史，說教訓，作者對中華傳統文化的熱愛溢於言表，這有利於激發讀者的愛國主義感情。這種感情也是科普作品中應該有而很少見的。

三是本書不僅限於介紹知識，同時還具有重要的學術價值。可以說本書是用通俗的語言撰寫的一部學術專著。在科普作品中滲透學術，這是科普作品難得的層次。

四是本書語言優美、引人入勝，結語部分更是揭示了“割圓術”中具有的深層次的數學美，把它解釋為一首扣人心弦的數學詩，充分顯示了作者的人文功底。這有利於激發讀者提高自己的人文素質。

總之，本書是一本非常優秀的科普作品，相信會得到讀者喜愛。

☆中國科學院院士

華中科技大學教授

2001年3月28日陳傳淼先生的評說

我們從中學到大學的數學教育，都是言必談古希臘的阿基米德，他在公元前2世紀計算了單位圓的內接96邊形的周長，得到π=3.14。諸多中國數學史書雖也提到劉徽求得π=3.14，但更強調祖沖之(429—500)計算出高精度的圓周率。祖沖之的原作早已失傳，在《隋書》中僅有幾行文字表述，不知道他是如何計算的。雖然國際上認可祖沖之的功績，並在月球上命名有“祖沖之山”，但Klein的《古今數學思想》一書的“序”稱：“我忽略了幾種文化，例如中國的文化，因為他們的工作對數學思想的主流沒有重大的影響。”這是一種偏見，令人氣憤，可又無可奈何！

近年拜讀了王能超教授的著作《千古絕技“割圓術”——劉徽的大智慧》(華中科技大學出版社，2003)，我感到了極大的震驚。原來中國古代最偉大的數學家劉徽(225—295)為《九章算術》作注(263年)，其中一個重要的注《割圓術》中，計算了96邊形的面積得到π=3.14，然後進一步用外推法得到了π=3.141 6。這1800字《割圓術》被幸運地保存下來了，完整地記錄了他的深刻思想方法。這使我肅然起敬，中華先輩們在近1800年前竟創造了如此光輝燦爛的思想。

但是，在劉徽的《割圓術》中所述“以十二觚之冪為率訊息”是什麼意思？這成了千古之謎，後人一直迷惑不解，因此不能理解劉徽的思想。中國人自己都不懂，外國人更不知道了。王能超教授經多年研究破譯了這個10字謎，給出了合理的解釋：誤排，重印中出現了誤排，此後以訛傳訛。原文應是“以十二觚之冪率為訊息”。這裡“冪率”是面積差分比。以十二觚之冪率r=3.95為“訊息”，可推出π≈3.141 6。這樣劉徽的系統思想方法就清晰了。王能超教授是我國知名計算數學家，不是數學史家，他克服 了古漢語及古代文獻的重重困難，潛心研究多年，破解了這樁千古奇案，是中華數學史乃至中華文化史上之重大事件，功不可沒。

劉徽算法是世界上最早的外推方法，它比英國氣象學家Richardson(1910年)早了16個世紀，並且比值r=3.95是用數值計算直接得到的！

我們看到，劉徽的數學思想是系統而嚴謹的，是中國古代數學史上最輝煌的成就，它遠遠地超越了整個時代。國人應深入研究《九章算術注》中劉徽所闡述的整體思想(而不是部分思想)，也應該“將一個輝煌的中國古代數學驚訝地展現在世界面前”。這是我們實現中國夢的一部分。王能超教授的新作《劉徽數學“割圓術”——奇效的劉徽外推》是這種研究的可喜開端。

我覺得我們的中學和大學數學教材應該告訴青年人，中華數學曾經達到了世界的頂峰！國人不僅應為之驕傲，更應舉起前人的火炬點亮未來！

在20世紀80年代(1978年)受蘇聯數學家MarchukShaidurov研究差分外推的啟發，林群、呂濤和筆者等一批學者率先研究有限元外推法，並作出了重要創新。可惜那時我們不知道劉徽的外推思想。

與Richardson外推不同，劉徽的外推法無需先證明誤差的漸近表示式！即使今天，對曲邊區域(非均勻格線)上橢圓問題的數值解，證明整體表示式幾乎不可能！但是劉徽的外推思想可將證明局部化，這是何等重要啊！這種思想還可以用於試驗數據和大數據的挖掘。

現代科學計算的一個重要思想是預報+校正。近年筆者和石鐘慈等提出外推多格線法(J Comput Math,2011(29)，684—697)，將外推預報思想用於大規模科學計算，對矩形區域上的模型問題在PC機上求解400萬未知數方程組僅費時10秒，在中等並行機上用8個處理器求解1億階問題僅費時2分鐘，解非線性問題的效率很高。這是外推法的新套用。我們謹以此工作紀念劉徽外推法1800周年。

湖南師範大學數學與計算機學院教授

2014年10月25日於嶽麓山下陳傳淼

前言

劉徽是中國古代最偉大的數學家，是“古代數學之神”。他為中國古代算經《九章算術》所作的注《九章算術注》，奠定了中國古代數學體系的理論基礎，其中關於圓面積的論述——割圓術，是一篇經典而寓意深邃的千古奇文。

本書對“割圓術”進行了深入的研究，闡述了它所透射出的深邃的數學思想和玄妙的科學方法，論證了祖沖之求圓周率的算法源於“割圓術”，破解了數學史上這樁千年疑案，並以科學、嚴謹的論述向世人宣示：劉徽提出的“割圓術”是銜接高等數學的金橋，它的技術是會通科學計算的古道，它的思想是攀登未來數學的天梯。尤其是其中的數學外推技術，其改善精度的效果極其顯著，這在數據加工處理成為現代數學研究主旋律的數位化時代，其套用給人以無限遐想。

本書文筆優美，風格清峻，氣勢磅礴，著眼於“會通古今，熔鑄中外”，既介紹“國粹”知識，又探討治學方法和數學方法論，同時也對數學史上某些熱點疑難問題進行評說，能為廣大讀者所接受：中學生能增長知識，大學生能啟迪思維，相信數學工作者也會引起共鳴。

閱讀本書的感受是奇妙的，讀者不妨一試。

目錄

名家評說(I)

前言牛頓數學的尷尬(i)

引論 文章千古事

01一石激起千重浪(3)

02群星璀璨的千古奇觀(4)

03撲朔迷離的千古疑案(10)

04博大精深的千古奇文(14)

05智慧之光耀千秋(16)

上篇銜接高等數學的金橋

第一章深邃的極限思想(術文注釋)（21）

11割圓，需要大智慧(21)

12劉徽是怎樣割圓的(22)

13圓面積的計算公式(27)

14破除陳規陋習(32)

第二章呼之欲出的極限論（34）

21開極限論之先河(34)

22立足“逼近”看“極限”(37)

23極限的定義(38)

24極限的存在性(40)

25無窮小量的概念(41)

26“和”的極限(42)

第三章扯開歷史的序幕（45）

31古代數學之神(45)

32近代數學之王(50)

33歷史掀開新篇章(51)

中篇會通科學計算的古道

第四章古老的計算工程（術文注釋）（59）

41一份珍貴的文化遺產(59)

42割圓計算的劉徽公式(60)

43“差冪”之神奇(64)

44“微數”大顯身手(66)

45“觚田圖”的啟示(67)

46王莽銅斛測算(69)

第五章先進的計算技術（71）

51怎樣設計計算機算法(71)

52割圓計算的神韻(73)

53創造奇蹟的小“魔棍”(76)

54極富智慧的“出入相補圖”(78)

55相得益彰姐妹術(80)

第六章綿延千年的數學競賽（84）

61開創解析計算的新時代(84)

62平庸的新紀錄(85)

63“新科學”呼喚“新數學”(88)

下篇攀登未來數學的天梯

第七章一蹴而就創奇蹟(術文注釋)（93）

71探究逼近數據中的奧秘(93)

72簡易的加工手續(94)

73奇妙的加工效果(96)

74劉徽留下的一個謎(96)

第八章玄妙的校正技術（99）

81解鈴還得系鈴人(99)

82誤差與偏差的辯證法(100)

83“冪率”傳出好“訊息”(102)

84隻要做一次“俯衝”(103)

85差之毫厘，失之千里(104)

86千年輝煌留給了祖沖之(107)

第九章千古絕技顯神威（109）

91兵貴神速(109)

92追蹤混沌(112)

93愛因斯坦的迷茫(119)

結語篇 終接混茫

101一首數學的詩(123)

102一幅科學的畫(129)

103一個奇妙的夢(134)

主要參考文獻（138）

附錄割圓術研究論文兩篇（139）

後記（159）