切薩羅求和

切薩羅求和（英語：Cesàro summation）是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅（Ernesto Cesàro）發明，是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α，則其切薩羅和存在，其值為 α，而發散級數也可以用切薩羅求和的方式，計算出切薩羅和。

基本介紹

• 中文名：切薩羅求和
• 外文名：Cesàro summation

定義

令 {a_n} 為一數列，且令

• {\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}
  

為數列前k項的部分和：

• {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}.
  

若以下的條件成立，則此數列 {a_n} 的切薩羅和存在，且其值為α。

• {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=\alpha }.
  

格蘭迪級數的例子

令a_n= (-1),n≥ 1。因此{a_n} 為以下的數列：

• {\displaystyle 1,-1,1,-1,\ldots }。
  

其部分和組成的數列 {s_n} 為

• {\displaystyle 1,0,1,0,\ldots }；
  

此數列為格蘭迪級數，不會收斂。

而數列 {(s₁+ ... +s_n)/n} 的各項分別為

• {\displaystyle {\frac {1}{1}},\,{\frac {1}{2}},\,{\frac {2}{3}},\,{\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{5}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{7}},\,{\frac {4}{8}},\,\ldots }；
  

當n趨近於無限大，切薩羅和為如下極限：

• {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2}。
  

因此，數列 {a_n} 的切薩羅和為 1/2。

推廣

切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和，表示為(C,n)，其中n為非負整數。 (C, 0) 是一般定義下的和，而(C, 1)就是上述的切薩羅和。

n>1時的(C,n) 如下所述： 對於級數Σa_n, 定義

• {\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}}
  

(上面的指數不表示指數)且定義E_n為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的A_n。 則 Σa_n的 (C, α) 和則為

• {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}
  

若以上數值存在。

這種描述代表初始求和方法的 α 次疊代套用。