格蘭迪級數

格蘭迪級數(Grandi's series)，即1 − 1 + 1 − 1 + …，是在1703年由義大利數學家格蘭迪發表的，後來荷蘭數學家丹尼爾·伯努利和瑞士數學家萊昂哈德·歐拉等人也都曾研究過它。

它是一個發散級數，也因此在一般情況下，這個無窮級數是沒有和的。但若對該發散級數進行一些特別的求和處理時，就會有特定的“和”出現。格蘭迪級數的歐拉和和切薩羅和均為1/2。

基本介紹

• 中文名：格蘭迪級數
• 外文名：Grandi's series
• 表達式：1 − 1 + 1 − 1 + …
• 提出者：格蘭迪

簡介

針對以下的格蘭迪級數

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一種求和方式是求它的裂項和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若調整括弧的位置，會得到不同的結果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式為格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數和可以得到0或是1的值。

格蘭迪級數為發散幾何級數，若將收斂幾何級數求和的方式用在格蘭迪級數，可以得到第三個數值：

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S，即

2S = 1，

可得到S = 1/2。

依照上述的計算，可以得到以下的二種結論：

格蘭迪級數 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。

格蘭迪級數的和為1/2。

總結

上述二個答案都可以精確的證明，但需要用19世紀提出的一些良好定義的數學概念。從17世紀歐洲開始使用微積分起，一直到現在嚴謹的數學成型之前，上述二個答案已造成數學家們尖銳及無止盡的爭論。