基本介紹
- 中文名：分枝定界/分支定界
- 外文名：branch and bound
- 類型：搜尋解空間的方法
- 類似方法：回溯法
簡介,基本思想,1、基本思想,2、分枝節點的選擇,步驟,
簡介
分枝界限法也能夠使用在混合整數規劃問題上，其為一種系統化的解法，以一般線性規劃之單形法解得最佳解後，將非整數值之決策變數分割成為最接近的兩個整數，分列條件，加入原問題中，形成兩個子問題(或分枝)分別求解，如此便可求得目標函式值的上限（上界）或下限（下界），從其中尋得最佳解。
基本思想
1、基本思想
分枝定界法是一個用途十分廣泛的算法，運用這種算法的技巧性很強，不同類型的問題解法也各不相同。分支定界法的基本思想是對有約束條件的最最佳化問題的所有可行解（數目有限）空間進行搜尋。該算法在具體執行時，把全部可行的解空間不斷分割為越來越小的子集（稱為分支），並為每個子集內的解的值計算一個下界或上界（稱為定界）。在每次分支後，對凡是界限超出已知可行解值那些子集不再做進一步分支。這樣，解的許多子集（即搜尋樹上的許多結點）就可以不予考慮了，從而縮小了搜尋範圍。這一過程一直進行到找出可行解為止，該可行解的值不大於任何子集的界限。因此這種算法一般可以求得最優解。
將問題分枝為子問題並對這些子問題定界的步驟稱為分枝定界法。
2、分枝節點的選擇
對搜尋樹上的某些點必須作出分枝決策，即凡是界限小於迄今為止所有可行解最小下界的任何子集（節點），都有可能作為分枝的選擇對象（對求最小值問題而言）。怎樣選擇搜尋樹上的節點作為下次分枝的節點呢？有兩個原則：
1）從最小下界分枝（佇列式FIFO分枝限界法）：每次算完界限後，把搜尋樹上當前所有葉節點的界限進行比較。找出限界最小的節點，此結點即為下次分枝的結點。
- 優點：檢查子問題較少，能較快地求得最佳解；
- 缺點：要存儲很多葉節點的界限及對應的耗費矩陣，花費很多記憶體空間。
2）從最新產生的最小下界分枝（優先佇列式分枝限界法）：從最新產生的各子集中選擇具有最小的下界的結點進行分枝。
優點：節省了空間； 缺點：需要較多的分枝運算，耗費的時間較多。這兩個原則更進一步說明了，在算法設計中的時空轉換概念。分枝定界法已經成功地套用於求解整數規劃問題、生產進度表問題、貨郎擔問題、選址問題、背包問題以及可行解的數目為有限的許多其它問題。對於不同的問題，分枝與界限的步驟和內容可能不同，但基本原理是一樣的。
步驟
分枝界限法是組合最佳化問題的有效求解方法，其步驟如下所述：
步驟一：如果問題的目標為最小化，則設定目前最優解的值Z=∞。
步驟二：根據分枝法則（Branching rule），從尚未被洞悉（Fathomed）節點（局部解）中選擇一個節點，並在此節點的下一階層中分為幾個新的節點。
步驟三：計算每一個新分枝出來的節點的下限值（Lower bound，LB）。
步驟四：對每一節點進行洞悉條件測試，若節點滿足以下任意一個條件，則此節點可洞悉而不再被考慮：
- 此節點的下限值大於等於Z值。
- 已找到在此節點中，具最小下限值的可行解；若此條件成立，則需比較此可行解與Z值，若前者較小，則需更新Z值，以此為可行解的值。
- 此節點不可能包含可行解。
步驟五：判斷是否仍有尚未被洞悉的節點，如果有，則進行步驟二，如果已無尚未被洞悉的節點，則演算停止，並得到最優解。
Kolen等曾利用此方法求解含時間窗約束的車輛巡迴問題，其實驗的節點數範圍為6-15。當節點數為6時，計算機演算所花費的時間大約1分鐘（計算機型為VAZ11/785），當節點數擴大至12時，計算機有記憶體不足的現象產生，所以分枝定界法比較適用於求解小型問題。Held和Karp指出分枝定界法的求解效率，與其界限設定的寬緊有極大的關係。
