分數布朗運動驅動的無窮維系統的漸近行為研究

《分數布朗運動驅動的無窮維系統的漸近行為研究》是依託中國人民解放軍國防科技大學，由鄭言擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：分數布朗運動驅動的無窮維系統的漸近行為研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：鄭言
• 依託單位：中國人民解放軍國防科技大學

中文摘要

無窮維系統漸近行為的定性理論是圍繞隨機吸引子或不變測度等問題展開的。本項目基於對Wiener過程驅動的無窮維隨機動力系統的各類緊性的深入研究，建立分數布朗運動驅動的隨機動力系統的緊性判定方法，系統地研究其漸近行為。探索一般區域(有界或無界)和不同邊界條件（含隨機動力學邊界條件）下分數布朗運動驅動的隨機發展方程的解的存在唯一性、穩定性、（弱）連續性，不變測度的存在唯一性，隨機吸引子、隨機慣性流形等問題，研究隨機吸引子、不變測度的幾何結構和遍歷性質，以及不變測度與隨機吸引子之間的關係。比較分數布朗運動驅動和標準布朗運動驅動的隨機動力系統動力學的異同，分析和討論隨機動力系統與確定性動力系統的本質區別，研究隨機因素給動力系統帶來的新現象和新問題，為所研究問題的實際工程套用奠定理論基礎。

結題摘要

本項目重點研究分數布朗運動驅動的非牛頓流和修正Boussinesq 近似方程組，針對Hurst指數的不同取值，研究了與之對應的隨機卷積的存在性和正則性，獲取mild解的適定性，研究相應的隨機動力系統的余環性質和(弱)緊性問題，證得隨機吸引子的存在性。我們的研究完善了無窮維分數布朗運動隨機卷積的存在性證明，可以在此基礎上方便地構造不變測度，所使用的技術手段也適合處理其他類似的隨機(時滯)拋物方程、波方程以及部分耗散系統等。為了做好技術上的準備，完善一些技術手段，我們還研究了非Gauss噪聲驅動的Boussinesq方程的遍歷性問題，構造了唯一的不變測度。研究了非Gauss噪聲驅動的非牛頓流，證明其存在鞅解，且鞅解存在連續的存在馬爾可夫選擇。因為分數階運算元和分數階噪聲對隨機卷積產生的作用有某種微妙的聯繫，我們對隨機分數階時滯反應擴散方程證明了其mild解具備時間和空間光滑性，研究了乘性噪聲的隨機耦合分數階Ginzburg–Landau方程的適定性和隨機吸引子。