偏微分運算元

偏微分運算元是一類常見而又重要的運算元。它是微分方程中研究的核心對象。

基本介紹

• 中文名：偏微分運算元
• 外文名：partial differential operator
• 適用範圍：數理科學

簡介

線性微分運算元

微分運算元是一類常見而又重要的運算元。它是微分方程中研究的核心對象。

設A是由某函式空間E₁到函式空間E₂的映射，f=Au(u∈E₁,f∈E₂)。如果像f在每個點x處的值f(x)由原像u和它的某些導函式在x處的值所決定，則稱A為微分運算元。當A還是線性時，稱A是線性微分運算元。

定義

是線性微分運算元，其中α=(α₁,α₂,...,α_n)為負的整數組，

|α|=α₁+α₂+...+α_n，a_α(x)是定義在n維歐幾里得空間某個開集Ω上的函式。

當n=1時，P(x,D)是常微分運算元。

當n≥2時，P(x,D)是偏微分運算元。

微分方程

微分方程指含有未知函式及其導數的關係式。解微分方程就是找出未知函式。

微分方程是伴隨著微積分學一起發展起來的。微積分學的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關的問題。微分方程的套用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，如空氣的阻力為速度函式的落體運動等問題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有套用。