偏微分方程數值解法（土建類）

內容簡介

本局嬸充書系統地闡述了偏微分方程數值解法的理論基礎及其在土建類專業中的套用。全書分有限差分法、變分法與加權餘量法、有限元法以及有限體積法四章。本書起點較低，並不一味追求數學的嚴密性和邏輯套達詢性，而是儘量為讀者提供偏微分方程數值解法的有關基本概念、基本原理和解決實際問題的方法與步驟，層次清晰，章腳邀深入淺出，便於自學。

本書可作為高等學校工科相關專業的本科教材，也可供工科專業研究生、教師和廣大科技人員參考。

圖書目錄

前言

第1章有限差分法1

1.1偏微分方程概述1

1.1.1偏微分方程的基本概念1

1.1.2偏微分方程分類2

1.1.3定解問題與邊界條件3

1.2常微分方程的有限差分法4

1.2.1導數的差分近似4

1.2.2線性常微分方程邊值問題的有限差分法求解6

1.2.3差分方程解的存在性和唯一性7

1.2.4差分方程的收斂性9

1.3偏微分方程有限差分法原理11

1.3.1微商與差商11

1.3.2有限差分方程的構建13

1.3.3從積分形式出發建立差分格式15

1.3.4顯式差分格式與隱式差分格式18

1.4邊界條件和初始條件的處理方法18

1.4.1矩形計算域邊界條件處理18

1.4.2非規則計算域邊界條件處理20

1.4.3採用單元積分法處理邊界條件22

1.4.4初始條件處理24

1.5有限差分格企幾擔墓式的相容性、穩定性與收斂性24

1.5.1偏微分方程定解問題的適定性24

1.5.2有限差分格式的相容性25

1.5.3有限差分格式的收斂性26

1.5.4有限差分格式的穩定性27

1.5.5Lax等價定理37

1.6橢圓型方程的有限差分格式37

1.6.1五點差分格式38

1.6.2非均勻格線上的差分格式39

1.6.3非矩形計算域上的差分格式41

1.6.4差分方程解法43

1.7雙曲型方程的有限差分格式44

1.7.1一階波動方程的差分格式44

1.7.2二階波動方程的差分格式46

1.8拋物型方程的有限差閥煉分格式49

1.8.1一維拋物型方程的差分格式49

1.8.2二維拋物型方程的差分格式52

1.8.3一維對流擴散方程的差分格式56

1.9數值效應57

1.9.1差商逼近微商的近似性質57

1.9.2物理耗散和彌散58

1.9.3數值耗散和彌散61

1.9.4數值振盪效應65

習題66

第2章變分法與加權餘量法68

2.1變分法概述68

2.1.1變分法的基本概念68

2.1.2變分的特性70

2.2歐拉方程75

2.2.1一辯贈她危維固定端點問題的歐拉方程75

2.2.2一維可動端點問題的歐拉方程80

2.2.3二維和三維問題的歐拉方程81

2.2.4待定邊界的變分問題86

2.3里茲法87

2.3.1里茲法的基本思想88

2.3.2微分方程對應的變分問題90

2.4加權餘量法94

2.4.1加權餘量法的基本思想95

2.4.2配置法96

2.4.3子區域法97

2.4.4最小二乘法98

2.4.5矩法99

2.4.6伽遼金法100

2.4.7伽遼金法與里茲法的關係101

2.4.8二維偏微分方程化為常微分方程求解102

2.5強解與弱解104

2.5.1弱解積分表達式104

2.5.2強解積分表達式105

2.6伽遼金法求解初值問題109

2.6.1波動方程的伽遼金積分表達式110

2.6.2擴散方程的伽遼金積分表達式110

2.6.3非定常問題求解111

2.7伽遼金法求解漏巴樂非線性問題114

2.8基函式的選取115

習題117

第3章有限元法119

3.1有限元法的基本原理119

3.1.1有限元法基本原理119

3.1.2有限元法解題步驟120

3.2有限元列式方法122

3.2.1基於變分原理的有限元列式方法122

3.2.2基於加權餘量法的有限元列式方法124

3.3單元的形狀和自然坐標126

3.3.1單元的形狀126

3.3.2自然坐標127

3.4插值函式138

3.4.1插值函式概述138

3.4.2單元的插值函式142

3.4.3基本單元及其線性插值函式145

3.5曲邊單元與等參單元148

3.6擬協調單元和埃爾米特多項式插值157

3.7高斯積分163

3.7.1高斯積分概述163

3.7.2一維線段基本單元的高斯積分164

3.7.3二維正方形基本單元的高斯積分165

3.7.4三維正方體基本單元的高斯積分165

3.7.5三角形基本單元的高斯積分166

3.7.6四面體基本單元的高斯積分167

3.8有限元法求解步驟167

3.8.1寫出積分表達式167

3.8.2區域剖分168

3.8.3確定單元基函式170

3.8.4單元分析172

3.8.5總體合成173

3.8.6邊界條件處理175

3.8.7解有限元方程177

3.9有限元法求解偏微分方程邊值問題178

3.9.1寫出積分表達式178

3.9.2區域剖分179

3.9.3確定單元基函式180

3.9.4單元分析181

3.9.5總體合成183

3.9.6邊界條件處理184

3.9.7解有限元方程185

3.10非線性問題的有限元法187

3.11非定常問題的有限元法189

3.11.1拋物型方程的步進法189

3.11.2雙曲型方程的步進法191

3.11.3非線性方程的步進法191

3.12泰勒伽遼金有限元法192

3.12.1一維對流方程192

3.12.2多維對流擴散方程的泰勒伽遼金有限元格式194

習題196

第4章有限體積法198

4.1流體流動與傳熱基本方程198

4.1.1連續性方程198

4.1.2動量方程200

4.1.3能量方程200

4.1.4組分質量守恆方程201

4.1.5狀態方程202

4.1.6牛頓流體運動控制方程202

4.1.7湍流概述203

4.1.8流動控制方程的通用形式205

4.2有限體積法的基本思想和特點205

4.3一維穩態擴散問題的有限體積法207

4.4多維穩態擴散問題的有限體積法214

4.4.1二維穩態擴散問題的有限體積法214

4.4.2三維穩態擴散問題的有限體積法219

4.5一維對流擴散問題的有限體積法221

4.6多維對流擴散問題的有限體積法227

4.6.1二維對流擴散問題的有限體積法227

4.6.2三維對流擴散問題的有限體積法229

4.7有限體積法離散格式的特徵230

4.8有限體積法常用的離散格式234

4.8.1對流擴散問題的一階離散格式234

4.8.2混合離散格式238

4.8.3指數離散格式與乘方離散格式240

4.8.4QUICK格式242

4.9壓力與速度耦合問題的有限體積法249

4.9.1壓力與速度耦合問題249

4.9.2交錯格線技術250

4.9.3SIMPLE算法255

4.9.4SIMPLER算法259

4.9.5SIMPLEC算法260

4.10有限體積法離散方程的解法262

4.10.1引言262

4.10.2TDMA算法263

4.10.3TDMA算法在二維問題中的套用267

4.10.4TDMA算法在三維問題中的套用268

4.11非穩態流動問題的有限體積法269

4.11.1非穩態流動問題的守恆方程269

4.11.2非穩態擴散問題的守恆方程270

4.12非穩態對流擴散問題的離散方程及其解法277

4.12.1非穩態對流擴散問題一階差分格式277

4.12.2SIMPLE算法在瞬態問題中的套用279

4.13邊界條件設定方法280

4.13.1概述280

4.13.2入口邊界條件處理282

4.13.3出口邊界條件處理283

4.13.4固定壁面邊界條件處理284

4.13.5壓力邊界條件處理288

4.13.6對稱邊界條件處理289

4.13.7周期或循環邊界條件處理289

4.13.8處理邊界條件潛在問題290

習題291

參考文獻293

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