伯努利分布

伯努利分布

伯努利分布亦稱“零一分布”、“兩點分布”。稱隨機變數X有伯努利分布, 參數為p(0<p<1),如果它分別以機率p和1-p取1和0為值。EX= p,DX=p(1-p)。伯努利試驗成功的次數服從伯努利分布,參數p是試驗成功的機率。伯努利分布是一個離散型機率分布,是N=1時二項分布的特殊情況,為紀念瑞士科學家詹姆斯·伯努利(Jacob Bernoulli 或James Bernoulli)而命名。

基本介紹

  • 中文名伯努利分布
  • 外文名:Bernoulli distribution
  • 別名:“零一分布”、“兩點分布”
  • 特點:試驗結果只有兩個
  • 公式均值EX=p,方差DX=p(1-p)
定義,伯努利試驗,

定義

一個非常簡單的試驗是只有兩個可能結果的試驗,比如正面或反面,成功或失敗,有缺陷或沒有缺陷,病人康復或未康復。為方便起見,記這兩個可能的結果為0和1,下面的定義就是建立在這類試驗基礎之上的。
如果隨機變數X只取0和1兩個值,並且相應的機率為:
則稱隨機變數X服從參數為p的伯努利分布,若令q=1一p,則X的機率函式可寫
為:
要證明該機率函式
確實是公式所定義的伯努利分布,只要注意到
,就很容易得證。
如果X服從參數為p的伯努利分布,則:
並且,
進而,X的矩母函式為:

伯努利試驗

如果無窮隨機變數序列
獨立同分布(i.i.d.)的,而且每個隨機變數
都服從參數為p的伯努利分布,那么隨機變數
就形成參數為p的一系列伯努利試驗。同樣,如果n個隨機變數
獨立同分布,並且都服從參數為p的伯努利分布,則隨機變數
形成參數為p的n重伯努利試驗。
下面舉幾個例子加以說明,假定重複拋擲一枚均勻硬幣,如果在第i次拋擲中出現正面,令
;如果出現反面,令
,那么,隨機變數
就形成參數
的一系列伯努利試驗,同樣,假定由一個特定機器生產的零件中10%是有缺陷的,隨機抽取n個進行觀測,如果第i個零件有缺陷,令
;如果沒有缺陷,令
,那么,隨機變數
就形成參數為
的n重伯努利試驗。

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