伯努利不等式，又稱貝努利不等式，是分析不等式中最常見的一種不等式，由數學家伯努利提出。
基本介紹
- 中文名：伯努利不等式
- 外文名：Bernoulli inequality
- 注意：注意前提、等號成立條件
- 發明人：伯努利（Bernoulli）
- 適用學科：高等數學
- 又名：貝努利不等式
基本概念,證明,相關不等式,
基本概念
對實數x>-1，
在
時，有
成立；
在
時，有
成立。
可以看到等號成立若且唯若n = 0,1，或x = 0時。
伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。
伯努利不等式的一般式為
（對於任意
都有
且
,即所有
同號且大於等於-1） 若且唯若n=1時等號成立
證明
設x>-1,且x≠0,n是不小於2的整數,則(1+x)^n≥1+nx。
證明：
先證明對所有正整數不等式成立。用數學歸納法：
當n=1，上個式子成立，
設對n-1，有：
(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立。
則
(1+x)^n
=(1+x)^(n-1)(1+x)
>=[1+(n-1)x](1+x)
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2=1+nx+nx^2-x^2
>=1+nx
就是對一切的自然數，當
x>=-1，有
(1+x)^n>=1+nx
若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx
若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx
這個不等式可以直接通過微分進行證明，方法如下：
如果r=0，1，則結論是顯然的
如果r≠0，1，作輔助函式f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 則f'(x)=0 <==> x=0;
下面分情況討論：
2. r < 0或r > 1，則對於x > 0，f'(x) > 0；對於 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。嚴格遞減，因此f(x)在x = 0處取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx
證畢。
相關不等式
下述不等式從另一邊估計
：對任意
，都有
我們知道
（ x>0），因此這個不等式是平凡的。
