亞橢圓運算元

亞橢圓運算元是一類重要的擬微分運算元,是橢圓型擬微分運算元的推廣。

基本介紹

  • 中文名:亞橢圓運算元
  • 外文名:hypoelliptic operator
  • 領域:數學
  • 屬性:擬微分運算元
  • 作用:橢圓型擬微分運算元的推廣
  • 相關名詞:橢圓運算元
簡介,主型運算元的亞橢圓性條件,橢圓型擬微分運算元,

簡介

亞橢圓運算元是一類重要的擬微分運算元,是橢圓型擬微分運算元的推廣。設
其中
,微分運算元L稱為亞橢圓的若且唯若對任意
。換言之,L 是亞橢圓的若且唯若對任一開集頁遙艱
,如果
,則有
,具有
係數的橢圓型偏微謎膠籃分運算元和具有
係數的拋物型偏微分運算元都是亞橢圓運算元。如果P是擬微分運算元,並且對任何
,有
,也稱P是亞橢圓運算元。由於橢圓型擬微分運算元的內正則性(參見“橢圓型方程解的正則性”),因此橢圓型擬微分運算元也是亞橢圓運算元。

主型運算元的亞橢圓性條件

主型運算元的研究具有重要作用的條件。設P(x,D)為區域
上的具有
係數的主型線性偏微分運算元,則P為亞橢圓運算元的充分必要條件為:滲戰轎重
對於采禁使主象徵,
的每點
及使
的每個複數z,有:
沿
的過
的零次特徵帶不變號,並且在
的任何鄰域內沿該零次特徵不恆為0。對於一般情形下的亞橢圓性判別問題還尚未解決。

橢圓型擬微分運算元

在偏微分方程理論中,在開放子集上定幾己旬義了偏微分運算元P:(Hypoelliptic operator)
對於在開放子集
上定義的每個分布u,如果Pu是
,u也必須是
如果這個
替換為實槓嘗牛雄際解析,則P被稱為解析亞橢圓。
具有
係數的每個橢圓運算符都是亞橢圓。
特別地,拉普拉斯運算元是一個府判故亞橢圓運算符的例子(拉普拉斯運算元也是分析上的低橢圓)。熱方程運算符
是亞橢圓的(其中k> 0),但不是橢圓的。 波動方程運算符
不是亞橢圓的(其中c≠0)。

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