亞橢圓運算元是一類重要的擬微分運算元,是橢圓型擬微分運算元的推廣。
基本介紹
- 中文名:亞橢圓運算元
- 外文名:hypoelliptic operator
- 領域:數學
- 屬性:擬微分運算元
- 作用:橢圓型擬微分運算元的推廣
- 相關名詞:橢圓運算元
簡介,主型運算元的亞橢圓性條件,橢圓型擬微分運算元,
簡介
亞橢圓運算元是一類重要的擬微分運算元,是橢圓型擬微分運算元的推廣。設
![](/img/a/15b/b6210f2c30512e1b24713fd8688d.jpg)
其中
,微分運算元L稱為亞橢圓的若且唯若對任意
。換言之,L 是亞橢圓的若且唯若對任一開集
和
,如果
,則有
,具有
係數的橢圓型偏微分運算元和具有
係數的拋物型偏微分運算元都是亞橢圓運算元。如果P是擬微分運算元,並且對任何
,有
,也稱P是亞橢圓運算元。由於橢圓型擬微分運算元的內正則性(參見“橢圓型方程解的正則性”),因此橢圓型擬微分運算元也是亞橢圓運算元。
![](/img/4/f46/9ae54073be0a57f87cc10dbbbbc9.jpg)
![](/img/6/fc6/34561e3af61014b4f621fe4b4ee3.jpg)
![](/img/4/43e/248a3baaad0810ee9648e0a8e24a.jpg)
![](/img/6/fc6/34561e3af61014b4f621fe4b4ee3.jpg)
![](/img/0/8c8/47d649dee1c8af867c680e7b9d4e.jpg)
![](/img/c/33b/9d54c7fd227876293fa9175e04ce.jpg)
![](/img/e/82f/940b52b36f741870dc22daa0f7a4.jpg)
![](/img/e/82f/940b52b36f741870dc22daa0f7a4.jpg)
![](/img/6/fc6/34561e3af61014b4f621fe4b4ee3.jpg)
![](/img/8/c50/6a0cad949a0c758318a8fa9ce34d.jpg)
主型運算元的亞橢圓性條件
對於使主象徵,
![](/img/d/4a9/82c2de58d4bada82eb0a4b264138.jpg)
的每點
及使
![](/img/d/219/01a4b635293c150f65481be86683.jpg)
![](/img/0/6ff/cc7191c2160141922623aa744cda.jpg)
的每個複數z,有:
沿
的過
的零次特徵帶不變號,並且在
的任何鄰域內沿該零次特徵不恆為0。對於一般情形下的亞橢圓性判別問題還尚未解決。
![](/img/2/3b2/fbd3849d2f5687bdefb5bcfb070b.jpg)
![](/img/5/60a/d7dece3034e0c4e9059ba71dac73.jpg)
![](/img/6/292/5a646e7ffdf1ed5b1f0f1f2018b9.jpg)
![](/img/6/292/5a646e7ffdf1ed5b1f0f1f2018b9.jpg)
橢圓型擬微分運算元
在偏微分方程理論中,在開放子集上定義了偏微分運算元P:(Hypoelliptic operator)
![](/img/4/543/c28e6c043de76b0d2c4b140febdd.jpg)
對於在開放子集
上定義的每個分布u,如果Pu是
,u也必須是
。
![](/img/0/1cf/427dc112664106423b88505e459b.jpg)
![](/img/b/0e2/ce0efd767bdb33e06f7873451293.jpg)
![](/img/b/0e2/ce0efd767bdb33e06f7873451293.jpg)
如果這個
替換為實際解析,則P被稱為解析亞橢圓。
![](/img/b/0e2/ce0efd767bdb33e06f7873451293.jpg)
具有
係數的每個橢圓運算符都是亞橢圓。
![](/img/b/0e2/ce0efd767bdb33e06f7873451293.jpg)
特別地,拉普拉斯運算元是一個亞橢圓運算符的例子(拉普拉斯運算元也是分析上的低橢圓)。熱方程運算符
![](/img/2/6ff/b87d19ef2d8a573c2f8accba2151.jpg)
是亞橢圓的(其中k> 0),但不是橢圓的。 波動方程運算符
![](/img/b/990/ba507e287a98c82ad9ab06cc6772.jpg)
不是亞橢圓的(其中c≠0)。