亞橢圓運算元是一類重要的擬微分運算元，是橢圓型擬微分運算元的推廣。
基本介紹
- 中文名：亞橢圓運算元
- 外文名：hypoelliptic operator
- 領域：數學
- 屬性：擬微分運算元
- 作用：橢圓型擬微分運算元的推廣
- 相關名詞：橢圓運算元
簡介,主型運算元的亞橢圓性條件,橢圓型擬微分運算元,
簡介
亞橢圓運算元是一類重要的擬微分運算元，是橢圓型擬微分運算元的推廣。設
其中
，微分運算元L稱為亞橢圓的若且唯若對任意
。換言之，L 是亞橢圓的若且唯若對任一開集
和，如果
，則有
，具有
係數的橢圓型偏微分運算元和具有係數的拋物型偏微分運算元都是亞橢圓運算元。如果P是擬微分運算元，並且對任何，有
，也稱P是亞橢圓運算元。由於橢圓型擬微分運算元的內正則性(參見“橢圓型方程解的正則性”)，因此橢圓型擬微分運算元也是亞橢圓運算元。
主型運算元的亞橢圓性條件
對於使主象徵，
的每點
及使
的每個複數z，有：
沿
的過
的零次特徵帶不變號，並且在的任何鄰域內沿該零次特徵不恆為0。對於一般情形下的亞橢圓性判別問題還尚未解決。
橢圓型擬微分運算元
在偏微分方程理論中，在開放子集上定義了偏微分運算元P：（Hypoelliptic operator）
對於在開放子集
上定義的每個分布u，如果Pu是
，u也必須是。
如果這個替換為實際解析，則P被稱為解析亞橢圓。
具有係數的每個橢圓運算符都是亞橢圓。
特別地，拉普拉斯運算元是一個亞橢圓運算符的例子（拉普拉斯運算元也是分析上的低橢圓）。熱方程運算符
是亞橢圓的（其中k> 0），但不是橢圓的。 波動方程運算符
不是亞橢圓的（其中c≠0）。
