基本介紹
定義,五邊形數測試,表示整數,廣義五邊形數,求拆分數,
定義
第 n個五邊形數可用以下公式求得

五邊形數測試
利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數(此處不考慮廣義五邊形數):

若n是自然數,則x是五邊形數,而且恰為第n個五邊形數。
若n不是自然數,則x不是五邊形數。
表示整數
依照費馬多邊形數定理,任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和。在小於106的整數中,只有以下6個整數需用5個五邊形數的和來表示:
9, 21, 31, 43, 55, 89 (OEIS:A133929)
而以下210個整數需用4個五邊形數的和來表示:
4, 8, 9, 16, 19, 20, ..., 20250, 33066 (OEIS:A003679)
廣義五邊形數
廣義五邊形數的公式和五邊形數相同,只是n可以為負數和零,n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...,廣義五邊形數也可以用下式表示:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)
用第n個五邊形數(n>2)排列組成的正五邊形,外圍點的個數有5(n-1)個,因此在內部的點個數為:

求拆分數
第n個五邊形數可用公式n(3n-1)/2求得,且
。

設第n個五邊形數為
,那么
,即序列為:1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, ...


對應圖形如下:

設五邊形數的生成函式為,那么有:

五邊形數定理是一個由歐拉發現的數學定理,描述歐拉函式展開式的特性。歐拉函式的展開式如下:


五邊形數和分割函式的關係:
歐拉函式的倒數是分割函式的母函式,亦即:
,其中
為
的分割函式。上式配合五邊形數定理,有:




在
時,等式右側的係數均為0。因此可得到分割函式的遞歸式:

