基本介紹
定義,構成圖,套用,特例,性質,與其他數關係,
定義
它有一定的規律性，排列如下(構成圖)，像上面的1、3、6、10、15等等這些能夠表示成三角形的形狀的總數量的數，叫做三角形數。
一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一個等邊三角形，因此10是一個三角形數：
x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
開始個18個三角形數是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的數列A000217）
第n個三角形數的公式是 
或者 
。
第n個三角形數是開始的n個自然數的和。
所有大於3的三角形數都不是質數。
開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 =102）
所有三角形數的倒數之和是2。
任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。
一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個公式來表示：n × (2n + 1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用n × (2n - 1)來表示。
一種檢驗正整數x是否三角形數的方法，是計算：
。
如果n是整數，那么x就是第n個三角形數。如果n不是整數，那么x不是三角形數。這個檢驗法是基於恆等式8Tn + 1 = S2n + 1.
特殊的三角形數
55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617,716）、第111,111個三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。
和其他數的關係
四面體數是三角形數在立體的推廣。
兩個相繼的三角形數之和是平方數。
三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
三角形數屬於一種多邊形數。
所有偶完美數都是三角形數。
任何自然數是最多三個三角形數的和。高斯發現了這個規律。他在1796年7月10日在日記中寫道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ
構成圖
o n=1 s=1
o o n=2 s=3
o o o n=3 s=6
o o o o n=4 s=10
o o o o o n=5 s=15
……
根據自然數列的求和公式，對於第n項的三角形數，可以得到其計算公式為：
。
套用
1)前n個三角形數的和:T(n)=s(1)+s(2)+…+s(n)
由
，
得到:
.。
2)判斷一個數是否為三角形數:對任給一個正整數K，則若為三角形數,有:
得:n*(n+1)=2K。
從而:
[即2K開根號]<n+1;這樣就得到了一個n，如果這個n滿足:則說明K是三角形數。
具體:你注意到了嗎，商店櫥窗里的罐頭盒一般都是這樣排列的。它們按照一定的規律排成了三角形。想一想：能不能把9個圓點按上面的規律排成一個三角形？9是不是三角形數？再想一想：能不能把25個圓點按上面的規律排成一個三角形？25是不是三角形數？為了能方便地看出規律，我們把三角形數改排成圖。觀察這些三角形數，你發現它們有什麼規律嗎？原來三角形數是從l開始的連續自然數的和。l是第一個三角形數，3是第二個三角形數，6是第三個三角形數，10是第四個三角形數，15是第五個三角形數……那么，第七個三角形數就是：1+2+3+4+5+6+7=28；第九個三角形數就是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；第十個三角形數就是：1+2+3+…+10=55；第100個三角形數就是：1+2+3+…+100=5050。
特例
1.55、5050、500500、50005000……都是三角形數。
2.第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617716）、第111111個三角形數（6172882716）、第11111111個三角形數（61728399382716）都是回文式的三角形數，但第111個、第11111個和第1111111個三角形數不是。
3.三角形數還有一個規律，就是：如果將所有邊形的數都整整齊齊地由左到右畫在表格里，你就會發現，每一列的數間隔都一樣，而且均為前一列的三角形數，例如：
三角形數 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 |
正方形數 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 |
五邊形數 | 1 | 5 | 12 | 22 | 35 | 51 | 70 | 92 |
六邊形數 | 1 | 6 | 15 | 28 | 45 | 66 | 91 | 120 |
4.比如10個點可以組成一個等邊三角形，因此10是一個三角形數：
一個三角數乘以九再加一仍是一個三角數。
三角數的個位數字不可能是2、4、7、9，數字根不可能是2、4、5、7、8。
三角數的二倍的平方根取整，是這個三角數的序數。
性質
第n個三角形數的公式是
。
第n個三角形數是從1開始的n個自然數的和。
所有大於3的三角形數都不是質數。
開始的n個立方數的和是第n個三角形數的平方（舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10）。
所有三角形數的倒數之和是2。
任何三角形數乘以8再加1是一個平方數。
一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個公式來表示：{\displaystyle n*(2n+1)}；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用{\displaystyle n*(2n-1)}來表示。
一種檢驗正整數x是否三角形數的方法，是計算：
如果n是整數，那么x就是第n個三角形數。如果n不是整數，那么x不是三角形數。這個檢驗法是基於恆等式
與其他數關係
- 是否在相繼出現的三角形數之間至少存在一個素數，在9000000以下的數目是正確的。
- 四面體數是三角形數在立體的推廣。
- 兩個相繼的三角形數之和是平方數。
- 三角平方數是同時為三角形數和平方數的數。
- 三角形數屬於一種多邊形數。
- 所有偶完美數都是三角形數。
